IMC 1994/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1994/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 20, 2012 6:06 pm

Έστω συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(a,b) \to \mathbb{R} με \displaystyle{ \lim_{x \to a+} f(x) = + \infty, \lim_{x \to b-}f(x) = -\infty} και \displaystyle{ f'(x) + f^2(x) \geqslant -1} για κάθε x \in (a,b). Να αποδειχθεί ότι b-a \geqslant \pi και να δοθεί παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης που να ισχύει ότι b-a = \pi.

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση του προβλήματος.


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: IMC 1994/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Μαρ 24, 2012 4:30 pm

\displaystyle{f'\left( x \right) + {f^2}\left( x \right) \geqslant  - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) \geqslant  - \left( {1 + {f^2}\left( x \right)} \right) \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{1 + {f^2}\left( x \right)}} \geqslant  - 1 \Rightarrow \forall x \in \left( {a,b} \right):\left( {Arctanf\left( x \right) + x} \right)' \geqslant 0}

Δηλαδή η συνάρτηση \displaystyle{g\left( x \right) = Arctanf\left( x \right) + x} είναι αύξουσα στο διάστημα \displaystyle{\left( {a,b} \right)}.

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right) = a + \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} Arctanf\left( x \right) = a + \mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } Arc\tan y = \frac{\pi }{2} + a}

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} g\left( x \right) = b + \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} Arctanf\left( x \right) = b + \mathop {\lim }\limits_{y \to  - \infty } Arc\tan y =  - \frac{\pi }{2} + b}

\displaystyle{g \uparrow  \Rightarrow \frac{\pi }{2} + a \leqslant  - \frac{\pi }{2} + b \Rightarrow b - a \geqslant \pi }

Μια συνάρτηση τέτοια ώστε \displaystyle{b - a = \pi } είναι η \displaystyle{f\left( x \right) = \tan \left( {a - x + \frac{\pi }{2}} \right)} με \displaystyle{b = a + \pi } (Θαρρώ πως πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις).


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: IMC 1994/1/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Μαρ 24, 2012 5:07 pm

Παρόμοιο θέμα εδώ.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης