IMC 1994/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1994/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 20, 2012 6:11 pm

Έστω n \in \mathbb{N} και έστω S ένα σύνολο 2n-1 διακεκριμένων αρρήτων. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν n διακεκριμένα στοιχεία x_1,\ldots, x_n \in S έτσι ώστε αν οι a_1,\ldots,a_n μη αρνητικοί ρητοί, όχι όλοι ίσοι με μηδέν, τότε ο a_1x_1 + \cdots + a_nx_n να είναι άρρητος.

Υ.Γ. Κάτι μου θυμίζει. Ίσως και να την ξανασυζητήσαμε.


GVlachos
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 8:04 pm

Re: IMC 1994/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GVlachos » Δευ Μαρ 26, 2012 7:21 pm

Θεωρούμε το μέγιστο φυσικό k τέτοιο ώστε ο a_1x_1 + \ldots + a_kx_k να είναι άρρητος για κάθε ακολουθία a_i και έστω k<n. Προφανώς το k υπάρχει, αφού για έναν άρρητο το άθροισμα αυτό είναι πάντα άρρητος. Κάθε αριθμός που δεν ανήκει στο σύνολο {x_1,\ldots,x_k} αλλά ανήκει στο S γράφεται στη μορφή m-a_1x_1 - \cdots - a_kx_k. Υπάρχουν τουλάχιστον n τέτοιοι αριθμοί και οποιοδήποτε άθροισμά τους θα είναι της μορφής p-b_1x_1- \ldots -b_kx_k, όπου p ρητός και b_i μη αρνητικοί ρητοί και τουλάχιστον ένας θετικός, οπότε το άθροισμα θα είναι άρρητος.
τελευταία επεξεργασία από GVlachos σε Πέμ Απρ 12, 2012 2:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: IMC 1994/1/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Σάβ Απρ 07, 2012 3:22 pm

GVlachos έγραψε: Κάθε αριθμός που δεν ανήκει στο σύνολο {x_1,\ldots,x_k} γράφεται στη μορφή m-a_1x_1 - \cdots - a_kx_k.
Ωραία ιδέα. Μπορείς να εξηγήσεις όμως πιο αναλυτικά πως βγάζεις το παραπάνω;

Για διδακτικούς κυρίως λόγους ας δούμε μία ακόμα λύση. Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V που παράγει το S με το 1 πάνω από το Q. Τότε λόγω του ότι το Q είναι άπειρο σαν σώμα υπάρχει f γραμμική από το V στο R με f(1)=0 και f(x) \not= 0 για x στο S.(Το γιατί , το αφήνω σαν ωραία άσκηση).
Τότε υπάρχουν x_1,..,x_n ώστε f(x_i) να έχουν το ίδιο πρόσημο. Άρα για μη αρνητικά a_i,i=1,..,n, f( \sum a_ix_i) \not = 0 και άρα \sum a_ix_i άρρητος.


GVlachos
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 8:04 pm

Re: IMC 1994/1/3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GVlachos » Δευ Απρ 09, 2012 6:53 pm

Ilias_Zad έγραψε:
GVlachos έγραψε: Κάθε αριθμός που δεν ανήκει στο σύνολο {x_1,\ldots,x_k} γράφεται στη μορφή m-a_1x_1 - \cdots - a_kx_k.
Ωραία ιδέα. Μπορείς να εξηγήσεις όμως πιο αναλυτικά πως βγάζεις το παραπάνω;

Για διδακτικούς κυρίως λόγους ας δούμε μία ακόμα λύση. Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V που παράγει το S με το 1 πάνω από το Q. Τότε λόγω του ότι το Q είναι άπειρο σαν σώμα υπάρχει f γραμμική από το V στο R με f(1)=0 και f(x) \not= 0 για x στο S.(Το γιατί , το αφήνω σαν ωραία άσκηση).
Τότε υπάρχουν x_1,..,x_n ώστε f(x_i) να έχουν το ίδιο πρόσημο. Άρα για μη αρνητικά a_i,i=1,..,n, f( \sum a_ix_i) \not = 0 και άρα \sum a_ix_i άρρητος.
Αφού το σύνολο {x_1,..,x_k} είναι μέγιστο, για κάθε x_l με l>k ένας τουλάχιστον αριθμός της μορφής bx_l+a_1x_1 + \cdots + a_kx_k, όπου τα b,a_1,..,a_k είναι μη αρνητικοί ρητοί όχι όλοι ίσοι με μηδέν, θα είναι ρητός.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης