IMC 1994/2/1

Έστω

μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [a,b]

με

και έστω ότι υπάρχει $\lambda > 0$ ώστε $|f'(x)| \leqslant \lambda |f(x)|$ για κάθε $x \in [a,b]$ . Αληθεύει ότι f(x) = 0

για κάθε $x \in [a,b]$ .

peter

Αυτή είναι μάλλον κλασική. Επιλέγουμε $x_0\in (a,b)$ ώστε $\lambda (x_0-a)=:\delta<1$ . Θα δείξουμε ότι f(x)=0

για κάθε $x\in [a,x_0]$ .

Έστω $y\in (a,x_0]$ . Από το ΘΜΤ υπάρχει $x_1\in (a,y)$ ώστε

$|f(y)|=|f(y)-f(a)|=|y-a|\cdot |f{'}(x_1)|\leq \lambda (y-a)|f(x_1)|$ . Όμοια, υπάρχει $x_2\in (a,x_1)$ ώστε

$|f(y)|\leq \lambda^2(y-a)(x_1-a)|f(x_2)|$ . Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε ακολουθία $x_0>x_1>\ldots >x_n>\ldots >a$ ώστε $|f(y)|\leq \lambda^n \prod_{j=0}^{n-1}(x_j-a)|f(x_n)|$ .

Καθώς, η

είναι συνεχής, υπάρχει M>0

ώστε $|f(x)|\leq M$ για κάθε $x\in [a,b]$ . Έτσι, $|f(y)|\leq M \delta^n$ για κάθε $n\in \mathbb N$ . Αφήνοντας το $n\to \infty$ παίρνουμε ότι f(y)=0

.

Δουλεύουμε με το ίδιο τρόπο και στα "διπλανά" διαστήματα μέχρι να εξαντλήσουμε το [a,b]

.

Η συνέχεια της f{'}

δε χρειάζεται.

Nick1990

Διαφορετικά, για διδακτικούς λόγους κυρίως, μπορούμε να δουλέψουμε έτσι:

Έστω $x \in (a, b]$ με $f(x) \neq 0$ . Το $[a, x] \cap f^{-1}(\{0\})$ είναι κλειστό, μη κενό, και άνω φραγμένο, οπότε έχει ένα πεπερασμένο supremum, έστω

,
ώστε

και $f(y) \neq 0$ για $y \in (u, x]$ .

Στο (u, x]

η

έχει σταθερό πρόσημο, χωρίς βλάβη της γενικότητας θετικό, οπότε εκεί η συνθήκη δίνει: $(ln(f(x))' \leq \lambda$ , και άρα για
$z,w \in (u, x]$ με z > w

, από ΘΜΤ είναι $ln(f(z)) - ln(f(w)) \leq \lambda(z - w)$ . Παίρνοντας όριο τώρα για $w \rightarrow u$ έχουμε άμεσα άτοπο.
Άρα η

πρέπει να είναι

σε όλο το

.

Δείτε και το viewtopic.php?f=53&t=23303&p=117726#p117726

Φιλικά,

Αχιλλέας

IMC 1994/2/1

IMC 1994/2/1

Re: IMC 1994/2/1

Re: IMC 1994/2/1

Re: IMC 1994/2/1

Μέλη σε σύνδεση