Διαφορετικά, για διδακτικούς λόγους κυρίως, μπορούμε να δουλέψουμε έτσι:
Έστω
![x \in (a, b] x \in (a, b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/87bf4ab7994d3c71afb24ba401dff5ed.png)
με

. Το
![[a, x] \cap f^{-1}(\{0\}) [a, x] \cap f^{-1}(\{0\})](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/22e813d67e0953ad7378763132c21797.png)
είναι κλειστό, μη κενό, και άνω φραγμένο, οπότε έχει ένα πεπερασμένο supremum, έστω

,
ώστε

και

για
![y \in (u, x] y \in (u, x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/08987f261799bda98c5cf14c88f5bf7a.png)
.
Στο
![(u, x] (u, x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4882dd764e05cdae28cd6748019d8b3c.png)
η

έχει σταθερό πρόσημο, χωρίς βλάβη της γενικότητας θετικό, οπότε εκεί η συνθήκη δίνει:

, και άρα για
![z,w \in (u, x] z,w \in (u, x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/13662f69922474d6e9d0c3c1363a09d3.png)
με

, από ΘΜΤ είναι

. Παίρνοντας όριο τώρα για

έχουμε άμεσα άτοπο.
Άρα η

πρέπει να είναι

σε όλο το
![[a, b] [a, b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/022022f289db140169cd9514f74ee648.png)
.