IMC 1994/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1994/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Απρ 08, 2012 3:26 pm

Έστω f μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [a,b] με f(a) = 0 και έστω ότι υπάρχει \lambda > 0 ώστε |f'(x)| \leqslant \lambda |f(x)| για κάθε x \in [a,b]. Αληθεύει ότι f(x) = 0 για κάθε x \in [a,b].


peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: IMC 1994/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Δευ Απρ 09, 2012 12:03 am

Αυτή είναι μάλλον κλασική. Επιλέγουμε x_0\in (a,b) ώστε \lambda (x_0-a)=:\delta<1. Θα δείξουμε ότι f(x)=0 για κάθε x\in [a,x_0].

Έστω y\in (a,x_0]. Από το ΘΜΤ υπάρχει x_1\in (a,y) ώστε

|f(y)|=|f(y)-f(a)|=|y-a|\cdot |f{'}(x_1)|\leq \lambda (y-a)|f(x_1)|. Όμοια, υπάρχει x_2\in (a,x_1) ώστε

|f(y)|\leq \lambda^2(y-a)(x_1-a)|f(x_2)|. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε ακολουθία x_0>x_1>\ldots >x_n>\ldots >a ώστε |f(y)|\leq \lambda^n \prod_{j=0}^{n-1}(x_j-a)|f(x_n)|.

Καθώς, η f είναι συνεχής, υπάρχει M>0 ώστε |f(x)|\leq M για κάθε x\in [a,b]. Έτσι, |f(y)|\leq M \delta^n για κάθε n\in \mathbb N. Αφήνοντας το n\to \infty παίρνουμε ότι f(y)=0.

Δουλεύουμε με το ίδιο τρόπο και στα "διπλανά" διαστήματα μέχρι να εξαντλήσουμε το [a,b].

Η συνέχεια της f{'} δε χρειάζεται.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: IMC 1994/2/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Δευ Απρ 09, 2012 1:36 pm

Διαφορετικά, για διδακτικούς λόγους κυρίως, μπορούμε να δουλέψουμε έτσι:

Έστω x \in (a, b] με f(x) \neq 0. Το [a, x] \cap f^{-1}(\{0\}) είναι κλειστό, μη κενό, και άνω φραγμένο, οπότε έχει ένα πεπερασμένο supremum, έστω u,
ώστε f(u)=0, u < x και f(y) \neq 0 για y \in (u, x].

Στο (u, x] η f έχει σταθερό πρόσημο, χωρίς βλάβη της γενικότητας θετικό, οπότε εκεί η συνθήκη δίνει: (ln(f(x))' \leq \lambda, και άρα για
z,w \in (u, x] με z > w, από ΘΜΤ είναι ln(f(z)) - ln(f(w)) \leq \lambda(z - w). Παίρνοντας όριο τώρα για w \rightarrow u έχουμε άμεσα άτοπο.
Άρα η f πρέπει να είναι 0 σε όλο το [a, b].


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2622
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: IMC 1994/2/1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Απρ 09, 2012 10:52 pm

Δείτε και το viewtopic.php?f=53&t=23303&p=117726#p117726

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες