IMC 1995/1/1

Έστω

ένας $n \times n$ αντιστρέψιμος πίνακας με στήλες $c_1,\ldots,c_n$ και έστω

ο πίνακας με στήλες $c_2,\ldots,c_n,0$ . Να δειχθεί ότι οι πίνακες $BA^{-1}$ και $A^{-1}B$ έχουν τάξη n-1

και έχουν μόνο μηδενικές ιδιοτιμές.

kwstas12345

Kαλησπέρα. Ώς γνωστόν άν $\displaystyle A$ αντιστρέψιμος πίνακας,τότε $\displaystyle \mathrm{rank}\left(AB \right)=\mathrm{rank}\left(B \right)$ . Άρα θα είναι $\displaystyle \mathrm{rank}\left(A^{-1} B \right)=\mathrm{rank}\left(BA^{-1} \right)=\mathrm{rank}(B)=n-1$ , αφού τo σύνολο διανυσμάτων $\displaystyle \left\{c_{1},c_{2}, \ldots, c_{n} \right\}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητο , και το υποσύνολο $\displaystyle \left\{c_{2},c_{3},...,c_{n} \right\}$ είναι επίσης, άρα $\displaystyle rank(B)=n-1$ .

Θα δείξουμε τώρα ότι οι πίνακες $\displaystyle A^{-1} B, BA^{-1}$ είναι μηδενοδύναμοι.Αρκεί $\displaystyle \det\left(A^{-1}B +x I \right)=x^n$ .Όμως $\displaystyle \det\left(A^{-1}B +x I \right)=\det\left(A^{-1} \right)\det\left(B+xA \right)$ . Θέλουμε να βρούμε την ορίζουσα του πίνακα με στήλες: $\displaystyle xc_{1}+c_{2},xc_{2}+c_{3},\ldots,xc_{n}$ . Έστω

διαφορετικό του μηδενός. Πολλαλπλασιάζουμε με

την προτελευταία στήλη και διαιρώ και με

την ορίζουσα.Έπειτα αφαιρώ την τελευταία στήλη από την προτελευταία και έτσι η προτελευταία τώρα είναι $\displaystyle x^2 c_{n-1}$ .Τώρα πολλαπλασιάζουμε με x^2

την

στήλη και διαιρούμε με x^2

την ορίζουσα.Έπειτα αφαιρούμε την n-1

στήλη (που είναι η $\displaystyle x^2 c_{n-1}$ ) από την $\displaystyle n-2$ στήλη και μένει η $\displaystyle x^3 c_{n-2}$ . Συνεχίζοντας έτσι θα έχουμε τον πίνακα με στήλες: $\displaystyle x^n c_{1}, x^{n-1}c_{2},\ldots, xc_{n}$ , και έστω

αυτός ο πίνακας τότε σύμφωνα με τα παραπάνω: $\displaystyle \det\left(A^{-1} \right)\det\left(xA+b \right)=\det\left(A^{-1} \right)\det C \prod_{i=1}^{n-1}{x^{-i}}=x^n$ .

Άρα όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα $\displaystyle A^{-1} B$ είναι 0. Όμοια προκύπτει: $\displaystyle \det\left(BA^{-1}+xI \right)=x^n$ .

Nick1990

Διαφορετικά:

Ο πίνακας

με άσσους πάνω από τη διαγώνιο, ικανοποιεί $AS=B \Rightarrow S=A^{-1}B$ , και έχει προφανώς βαθμό n-1

(έχει μια μηδενική στήλη και υποπίνακα τον $n-1 \times n-1$ ταυτοτικό) και ως τριγωνικός με μηδενικά στη διαγώνιο είναι μηδενοδύναμος.

Ο $S' = BA^{-1}$ είναι όμοιος με τον

( $S = A^{-1}S'A$ ), οπότε έχει ίδιο βαθμό και τις ίδιες ιδιοτιμές με αυτόν.

IMC 1995/1/1

IMC 1995/1/1

Re: IMC 1995/1/1

Re: IMC 1995/1/1

Μέλη σε σύνδεση