IMC 1995/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1995/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Απρ 19, 2012 4:27 pm

Έστω A ένας n \times n αντιστρέψιμος πίνακας με στήλες c_1,\ldots,c_n και έστω B ο πίνακας με στήλες c_2,\ldots,c_n,0. Να δειχθεί ότι οι πίνακες BA^{-1} και A^{-1}B έχουν τάξη n-1 και έχουν μόνο μηδενικές ιδιοτιμές.


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: IMC 1995/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Πέμ Απρ 19, 2012 7:16 pm

Kαλησπέρα. Ώς γνωστόν άν \displaystyle A αντιστρέψιμος πίνακας,τότε \displaystyle \mathrm{rank}\left(AB \right)=\mathrm{rank}\left(B \right). Άρα θα είναι \displaystyle \mathrm{rank}\left(A^{-1} B \right)=\mathrm{rank}\left(BA^{-1} \right)=\mathrm{rank}(B)=n-1, αφού τo σύνολο διανυσμάτων \displaystyle \left\{c_{1},c_{2}, \ldots, c_{n} \right\} είναι γραμμικά ανεξάρτητο , και το υποσύνολο \displaystyle \left\{c_{2},c_{3},...,c_{n} \right\} είναι επίσης, άρα \displaystyle rank(B)=n-1.

Θα δείξουμε τώρα ότι οι πίνακες \displaystyle A^{-1} B, BA^{-1} είναι μηδενοδύναμοι.Αρκεί \displaystyle \det\left(A^{-1}B +x I \right)=x^n.Όμως \displaystyle \det\left(A^{-1}B +x I \right)=\det\left(A^{-1} \right)\det\left(B+xA \right). Θέλουμε να βρούμε την ορίζουσα του πίνακα με στήλες: \displaystyle xc_{1}+c_{2},xc_{2}+c_{3},\ldots,xc_{n}. Έστω x διαφορετικό του μηδενός. Πολλαλπλασιάζουμε με x την προτελευταία στήλη και διαιρώ και με x την ορίζουσα.Έπειτα αφαιρώ την τελευταία στήλη από την προτελευταία και έτσι η προτελευταία τώρα είναι \displaystyle x^2 c_{n-1}.Τώρα πολλαπλασιάζουμε με x^2 την n-2 στήλη και διαιρούμε με x^2 την ορίζουσα.Έπειτα αφαιρούμε την n-1 στήλη (που είναι η \displaystyle x^2 c_{n-1}) από την \displaystyle n-2 στήλη και μένει η \displaystyle x^3 c_{n-2}. Συνεχίζοντας έτσι θα έχουμε τον πίνακα με στήλες: \displaystyle x^n c_{1}, x^{n-1}c_{2},\ldots, xc_{n}, και έστω C αυτός ο πίνακας τότε σύμφωνα με τα παραπάνω: \displaystyle \det\left(A^{-1} \right)\det\left(xA+b \right)=\det\left(A^{-1} \right)\det C \prod_{i=1}^{n-1}{x^{-i}}=x^n.

Άρα όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα \displaystyle A^{-1} B είναι 0. Όμοια προκύπτει: \displaystyle \det\left(BA^{-1}+xI \right)=x^n.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Παρ Απρ 20, 2012 1:29 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διορθώσεις στον κώδικα latex


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: IMC 1995/1/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Απρ 20, 2012 5:36 pm

Διαφορετικά:

Ο πίνακας S με άσσους πάνω από τη διαγώνιο, ικανοποιεί AS=B \Rightarrow S=A^{-1}B, και έχει προφανώς βαθμό n-1 (έχει μια μηδενική στήλη και υποπίνακα τον n-1 \times n-1 ταυτοτικό) και ως τριγωνικός με μηδενικά στη διαγώνιο είναι μηδενοδύναμος.

Ο S' = BA^{-1} είναι όμοιος με τον S (S = A^{-1}S'A), οπότε έχει ίδιο βαθμό και τις ίδιες ιδιοτιμές με αυτόν.


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες