IMC 1995/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1995/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Απρ 19, 2012 4:34 pm

Έστω f:(0,+\infty) \to \mathbb{R} δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση ούτως ώστε \displaystyle{ \lim_{x \to 0+} f'(x) = -\infty} και \displaystyle{ \lim_{x \to 0+} f''(x) = +\infty}. Να δειχθεί ότι \displaystyle{ \lim_{x \to 0+} \frac{f(x)}{f'(x)} = 0.}


peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: IMC 1995/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Σάβ Απρ 21, 2012 12:20 am

Έστω \delta>0 ώστε f''(x)>1 και f'(x)<0 για κάθε 0<x<\delta. Έστω 0<x<\delta. Από το θεώρημα του Taylor στο [x,\delta] παίρνουμε:
f(x)-f(\delta)=(x-\delta)f'(\delta)+\frac{(x-\delta)^2}{2}f''(t)>(x-\delta)f'(\delta)+\frac{(x-\delta)^2}{2}.

Πολλαπλασιάζοντας με \frac{1}{f'(x)}<0 προκύπτει ότι: \displaystyle \frac{f(x)}{f'(x)}<\frac{f(\delta)}{f'(x)}+\frac{(x-\delta)f'(\delta)}{f'(x)}+\frac{(x-\delta)^2}{2f'(x)}.

Εφόσον, \lim_{x\to 0^+}f'(x)=-\infty παίρνουμε \limsup_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}\leq 0.

Έστω \varepsilon>0. Σταθεροποιούμε 0<\theta<\min\{\varepsilon,\delta\}. Τότε, για κάθε 0<x<\theta έχουμε:
f(\theta)=f(x)+(\theta-x)f'(x)+\frac{(\theta-x)^2}{2}f''(\xi)>f(x)+(\theta-x)f'(x)+\frac{(\theta-x)^2}{2}.

Έπεται ότι: \displaystyle \frac{f(\theta)}{f'(x)}-(\theta-x)-\frac{(\theta-x)^2}{2f'(x)}<\frac{f(x)}{f'(x)}, για κάθε x\in(0,\theta).

Έτσι, έχουμε -\theta\leq \liminf_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)} ή -\varepsilon <\liminf_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}.

Καθώς το \varepsilon>0 ήταν τυχόν καταλήγουμε στην 0\leq \liminf_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}. Συνδυάζοντας με τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι \lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}=0.

Σημείωση. Μας αρκεί να είναι \liminf_{x\to 0^+}f''(x)>0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης