IMC 1995/2/1

#1

Έστω

ένας $3 \times 3$ πραγματικός πίνακας ούτως ώστε για κάθε $u \in \mathbb{R}^3$ να ισχύει ότι τα διανύσματα

και

είναι κάθετα μεταξύ τους. Να αποδειχθεί ότι
(α) Ο

είναι αντισυμμετρικός.
(β) Υπάρχει $v \in \mathbb{R}^3$ ούτως ώστε $Au = v \times u$ για κάθε $u \in \mathbb{R}^3$ . (Εδώ, το $v \times u$ δηλώνει το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων.)

#2

Συμβολίζουμε με $\displaystyle{\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle }$ το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον $\displaystyle{{\mathbb{R}^3}}$ και με $\displaystyle{{A^t}}$ τον ανάστροφο του πίνακα $\displaystyle{A}$ .

Το σύνολο των πινάκων $\displaystyle{A}$ με την ιδιότητα του προβλήματος είναι η άλγεβρα Lie ${\frak {so}}(3)$ (ειδική ορθογώνια άλγεβρα Lie) και οι ισχυρισμοί (α) και (β) είναι γνωστές ιδιότητες της ${\frak {so}}(3)$ .

(α) Από την υπόθεση έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{u \in \mathbb{R}^3}$ ισχύει:

$\displaystyle{\left\langle {Au,u} \right\rangle = \left\langle {u,{A^t}u} \right\rangle = \left\langle {{A^t}u,u} \right\rangle = 0.}$

Επομένως, θα είναι και

$\displaystyle{\left\langle {\left( {A + {A^t}} \right)u,u} \right\rangle = 0}$

για κάθε $\displaystyle{u \in \mathbb{R}^3}$ .

Εφόσον ο πίνακας $\displaystyle{{A + {A^t}}}$ είναι συμμετρικός, θα είναι διαγωνοποιήσιμος. Αν, λοιπόν, $\displaystyle{\lambda }$ είναι μια ιδιοτιμή του $\displaystyle{{A + {A^t}}}$ και $\displaystyle{0 \ne u \in \mathbb{R}^3}$ ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα, τότε θα έχουμε ότι:

$\displaystyle{\left\langle {\left( {A + {A^t}} \right)u,u} \right\rangle = \left\langle {\lambda u,u} \right\rangle = \lambda \left\langle {u,u} \right\rangle = 0,}$

οπότε $\displaystyle{\lambda = 0}$ . Έτσι, όλες οι ιδιοτιμές του $\displaystyle{{A + {A^t}}}$ είναι ίσες με $\displaystyle{0}$ , πράγμα που σημαίνει ότι $\displaystyle{{A + {A^t}} = O,}$ δηλαδή ότι ο πίνακας $\displaystyle{A}$ είναι αντισυμμετρικός.

(β) Ο πίνακας $\displaystyle{A}$ είναι της μορφής

$\displaystyle{A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & a & b \\ { - a} & 0 & c \\ { - b} & { - c} & 0 \\ \end{array}} \right),}$

όπου $\displaystyle{a,b,c \in \mathbb{R}.}$

Αν $\displaystyle{u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) \in \mathbb{R}^3,}$ τότε

$\displaystyle{Au = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & a & b \\ { - a} & 0 & c \\ { - b} & { - c} & 0 \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {ay + bz} \\ { - ax + cz} \\ { - bx - cy} \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - c} \\ b \\ { - a} \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = v \times u,}$

όπου

$\displaystyle{v: = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - c} \\ b \\ { - a} \\ \end{array}} \right) \in \mathbb{R}^3}$

και το συμπέρασμα έπεται.

#3

Ας αναφερθεί, τα παραπάνω αποτελέσματα έχουν εφαρμογή στη ρομποτική...

IMC 1995/2/1

IMC 1995/2/1

Re: IMC 1995/2/1

Re: IMC 1995/2/1

Μέλη σε σύνδεση