IMC 1995/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1995/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 21, 2012 2:39 pm

Έστω A ένας 3 \times 3 πραγματικός πίνακας ούτως ώστε για κάθε u \in \mathbb{R}^3 να ισχύει ότι τα διανύσματα u και Au είναι κάθετα μεταξύ τους. Να αποδειχθεί ότι
(α) Ο A είναι αντισυμμετρικός.
(β) Υπάρχει v \in \mathbb{R}^3 ούτως ώστε Au = v \times u για κάθε u \in \mathbb{R}^3. (Εδώ, το v \times u δηλώνει το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων.)


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 1995/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Απρ 28, 2012 12:15 pm

Συμβολίζουμε με \displaystyle{\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle } το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον \displaystyle{{\mathbb{R}^3}} και με \displaystyle{{A^t}} τον ανάστροφο του πίνακα \displaystyle{A}.

Το σύνολο των πινάκων \displaystyle{A} με την ιδιότητα του προβλήματος είναι η άλγεβρα Lie {\frak {so}}(3) (ειδική ορθογώνια άλγεβρα Lie) και οι ισχυρισμοί (α) και (β) είναι γνωστές ιδιότητες της {\frak {so}}(3).

(α) Από την υπόθεση έχουμε ότι για κάθε \displaystyle{u \in \mathbb{R}^3} ισχύει:

\displaystyle{\left\langle {Au,u} \right\rangle  = \left\langle {u,{A^t}u} \right\rangle  = \left\langle {{A^t}u,u} \right\rangle  = 0.}

Επομένως, θα είναι και

\displaystyle{\left\langle {\left( {A + {A^t}} \right)u,u} \right\rangle  = 0}

για κάθε \displaystyle{u \in \mathbb{R}^3}.

Εφόσον ο πίνακας \displaystyle{{A + {A^t}}} είναι συμμετρικός, θα είναι διαγωνοποιήσιμος. Αν, λοιπόν, \displaystyle{\lambda } είναι μια ιδιοτιμή του \displaystyle{{A + {A^t}}} και \displaystyle{0 \ne u \in \mathbb{R}^3} ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα, τότε θα έχουμε ότι:

\displaystyle{\left\langle {\left( {A + {A^t}} \right)u,u} \right\rangle  = \left\langle {\lambda u,u} \right\rangle  = \lambda \left\langle {u,u} \right\rangle  = 0,}

οπότε \displaystyle{\lambda  = 0}. Έτσι, όλες οι ιδιοτιμές του \displaystyle{{A + {A^t}}} είναι ίσες με \displaystyle{0}, πράγμα που σημαίνει ότι \displaystyle{{A + {A^t}} = O,} δηλαδή ότι ο πίνακας \displaystyle{A} είναι αντισυμμετρικός.

(β) Ο πίνακας \displaystyle{A} είναι της μορφής

\displaystyle{A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   0 & a & b  \\ 
   { - a} & 0 & c  \\ 
   { - b} & { - c} & 0  \\ 
\end{array}} \right),}

όπου \displaystyle{a,b,c \in \mathbb{R}.}

Αν \displaystyle{u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   x  \\ 
   y  \\ 
   z  \\ 
\end{array}} \right) \in \mathbb{R}^3,} τότε


\displaystyle{Au = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   0 & a & b  \\ 
   { - a} & 0 & c  \\ 
   { - b} & { - c} & 0  \\ 
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   x  \\ 
   y  \\ 
   z  \\ 
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {ay + bz}  \\ 
   { - ax + cz}  \\ 
   { - bx - cy}  \\ 
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   { - c}  \\ 
   b  \\ 
   { - a}  \\ 
\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   x  \\ 
   y  \\ 
   z  \\ 
\end{array}} \right) = v \times u,}

όπου

\displaystyle{v: = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   { - c}  \\ 
   b  \\ 
   { - a}  \\ 
\end{array}} \right) \in \mathbb{R}^3}

και το συμπέρασμα έπεται.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: IMC 1995/2/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Απρ 30, 2012 6:28 pm

Ας αναφερθεί, τα παραπάνω αποτελέσματα έχουν εφαρμογή στη ρομποτική...


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης