IMC 1995/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1995/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 21, 2012 2:43 pm

Έστω (b_n)_{n \geqslant 0} ακολουθία θετικών αριθμών με b_0 = 1 και b_n = 2 + \sqrt{b_{n-1}} - 2\sqrt{1+\sqrt{b_{n-1}}} για n\geqslant 1. Να υπολογιστεί το \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n2^n}


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: IMC 1995/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Σάβ Απρ 21, 2012 3:50 pm

Θα αποδέιξουμε επαγωγικά ότι \displaystyle b_{n}=\left(2^{2^{-n}} -1 \right)^2 , n\geqslant 1. Για n=1 από τον αναδρομικό τύπο βρίσκουμε ότι \displaystyle b_{1}=\left(\sqrt{2}-1 \right)^2, άρα ισχύει για n=1.Παρατηρούμε ότι ισχύει: \displaystyle b_{n+1}=\left(\sqrt{1+\sqrt{b_{n}}}-1 \right)^2, άρα αν ισχύει η υπόθεση για n τότε \displaystyle b_{n+1}=\left(\sqrt{1+2^{2^{-n}}-1}-1 \right)^2=\left(2^{2^{-n-1}}-1 \right)^2. Άρα αποδείχθηκε ο τύπος για την b_{n}.

Τώρα έχουμε ότι: \displaystyle \sum_{n=1}^{N}{b_{n}2^n}=\sum_{n=1}^{N}{2^n}+\sum_{n=1}^{N}{\left(2^n 2^{2^{-n+1}}-2^{n+1}2^{2^{-n}} \right)}. Το πρώτο άθροισμα ισοούται με \displaystyle 2^{N+1} {\color{red} -2} ενώ το δεύτερο είναι τηλεσκοπικό και ισούται με \displaystyle 4-2^{N+1} 2^{2^{-N}}.

Άρα \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}2^n}=\lim_{N\rightarrow \infty} \left(2+2\cdot2^{N}\left(1-2^{2^{-N}} \right) \right)=2-2\log 2. Το όριο \displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty} \left(2^{N}\left(1+2^{2^{-N}} \right) \right) υπολογίζεται θέτοντας \displaystyle z=2^{-N}, και εφαρμόζοντας έπειτα τον κανόνα του De Hospital.

Εdit:Δημήτρη σε ευχαριστώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης