IMC 1995/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1995/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 21, 2012 2:46 pm

Έστω P(z) ένα μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού n του οποίου όλες οι ρίζες βρίσκονται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. Να δειχθεί ότι το ίδιο ισχύει και για τις ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle{ 2zP'(z) - nP(z).}


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 1995/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Απρ 21, 2012 3:14 pm

Έστω ότι \displaystyle{P\left( z \right) = c\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {z - {z_k}} \right)} }, όπου \displaystyle{c \in {\mathbb{C}^*}} και \displaystyle{{z_k} \in {\mathbb{C}}, με \displaystyle{\left| {{z_k}} \right| = 1}, \displaystyle{k = 1,2, \ldots ,n} (όχι υποχρεωτικά διακεκριμένοι).

Τότε, είναι:

\displaystyle{\frac{{P'\left( z \right)}}{{P\left( z \right)}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{z - {z_k}}}} }.

Άρα, αν θέσουμε \displaystyle{Q\left( z \right) = \frac{{2zP'\left( z \right) - nP\left( z \right)}}{{P\left( z \right)}}}, τότε είναι;

\displaystyle{Q\left( z \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{2z}}{{z - {z_k}}} - 1} \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{z + {z_k}}}{{z - {z_k}}}} }.

Επομένως, αν \displaystyle{Q\left( z \right) = 0}, τότε θα είναι και

\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {Q\left( z \right)} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{z + {z_k}}}{{z - {z_k}}}} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left| z \right|}^2} - {{\left| {{z_k}} \right|}^2}}}{{{{\left| {z - {z_k}} \right|}^2}}}} }  = \left( {{{\left| z \right|}^2} - 1} \right)\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{{\left| {z - {z_k}} \right|}^2}}}}  = 0,}

οπότε \displaystyle{\left| z \right| = 1} και το συμπέρασμα έπεται.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης