IMC 1995/2/3

#1

Έστω

ένα μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού

του οποίου όλες οι ρίζες βρίσκονται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. Να δειχθεί ότι το ίδιο ισχύει και για τις ρίζες του πολυωνύμου $\displaystyle{ 2zP'(z) - nP(z).}$

#2

Έστω ότι $\displaystyle{P\left( z \right) = c\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {z - {z_k}} \right)} }$ , όπου $\displaystyle{c \in {\mathbb{C}^*}}$ και $\displaystyle{{z_k} \in {\mathbb{C}}$ , με $\displaystyle{\left| {{z_k}} \right| = 1}$ , $\displaystyle{k = 1,2, \ldots ,n}$ (όχι υποχρεωτικά διακεκριμένοι).

Τότε, είναι:

$\displaystyle{\frac{{P'\left( z \right)}}{{P\left( z \right)}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{z - {z_k}}}} }$ .

Άρα, αν θέσουμε $\displaystyle{Q\left( z \right) = \frac{{2zP'\left( z \right) - nP\left( z \right)}}{{P\left( z \right)}}}$ , τότε είναι;

$\displaystyle{Q\left( z \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{2z}}{{z - {z_k}}} - 1} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{z + {z_k}}}{{z - {z_k}}}} }$ .

Επομένως, αν $\displaystyle{Q\left( z \right) = 0}$ , τότε θα είναι και

$\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {Q\left( z \right)} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{z + {z_k}}}{{z - {z_k}}}} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left| z \right|}^2} - {{\left| {{z_k}} \right|}^2}}}{{{{\left| {z - {z_k}} \right|}^2}}}} } = \left( {{{\left| z \right|}^2} - 1} \right)\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{{\left| {z - {z_k}} \right|}^2}}}} = 0,}$

οπότε $\displaystyle{\left| z \right| = 1}$ και το συμπέρασμα έπεται.

IMC 1995/2/3

IMC 1995/2/3

Re: IMC 1995/2/3

Μέλη σε σύνδεση