IMC 1996/1/1

#1

Έστω $a,d \in \mathbb{R}$ . Να υπολογιστεί η ορίζουσα του $(n+1) \times (n+1)$ πίνακα

με $A_{ij} = a + |i-j|d$ .

kwstas12345 · #2

H τελευταία γραμμή του $\displaystyle \left(n+1 \right)\times \left(n+1 \right)$ πίνακα είναι η $\displaystyle a+nd, a+\left(n-1 \right)d,..., a$ .Aφαιρούμε πό την τελευταία στήλη την προτελευταία οπότε γίνεται $\displaystyle \left(d,d,d,...,d,-d \right)$ . Τώρα από την

γραμμη αφαιρούμε την n-1

γραμμή οπότε η

οστή γραμμή γίνεται $\displaystyle \left(d,d,d,...,-d,-d \right)$ .Συνεχίζοντας παρόμοια στην

γραμμή θα υπάρχουν στις πρώτες i-1

θέσεις

και στις υπόλοιπες

.'Ετσι φτάνουμε μέχρι την

γραμμή από την οποία αφαιρούμε την πρώτη. Άρα $\displaystyle \det A=\det B+ \det C$ . Όπου ο

είναι ένας $\displaystyle \left(n+1 \right)\times \left(n+1 \right)$ πίνακας με πρώτη γραμμή την $\displaystyle \left(a,a,...,a \right)$ και οι υπόλοιπες γραμμές ίδιες με του γραμμοισοδύναμου του αρχικού με την διαδοχική αφαίρεση γραμμών.

Δηλαδή: $\displaystyle \det B=\det \begin{pmatrix} a & a &... & a &a \\ d&-d &... &-d &-d \\ d& d& ... & -d &-d \\ ... &... &... &... &... \\ d& d & d &... & -d \end{pmatrix}=ad^{n}\det\begin{pmatrix} 1 & 1 &... & 1 &1 \\ 1&-1 &... &-1 &-1 \\ 1& 1& ... & -1 &-1 \\ ... &... &... &... &... \\ 1& 1 & 1 &... & -1 \end{pmatrix}$ , Στον τελευατιο πινακα προσθέτουμε την πρώτη γραμμάη σε όλες τις υπόλοιπες. Αναπτύσοντας από από την τελευταία στήλη προκυπτει κάτω τριγωνικός πίνακας με 2 στην κυρια διαγώνιο άρα: $\displaystyle \det B =ad^n \left(-2 \right)^n$ .

Επίσης για τον άλλο πίνακα: $\displaystyle \det C=\det \begin{pmatrix} 0 & d &... & \left(n-1 \right)d &nd \\ d&-d &... &-d &-d \\ d& d& ... & -d &-d \\ ... &... &... &... &... \\ d& d & d &... & -d \end{pmatrix}=d^{n+1}\det \begin{pmatrix} 0 & 1 &... & n-1 &n \\ 1&-1 &... &-1 &-1 \\ 1& 1& ... & -1 &-1 \\ ... &... &... &... &... \\ 1& 1 & 1 &... & -1 \end{pmatrix}$ . Τώρα προσθέτουμε την πρώτη στήλη σε όλες τις υπόλοιπες οπότε: $\displaystyle \det C=d^{n+1}\det \begin{pmatrix} 0 & 1 &... & n-1 &n \\ 1&0 &... &0 &0 \\ 1& 2& ... & 0 &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 1& 2 & 2 &... & 0 \end{pmatrix}=$ $\displaystyle d^{n+1} n \left(-1 \right)^{n} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 &... &0 \\ 1& 2 &... & 0\\ 1& 2 & ... &0 \\ 1& 2 &... &2 \end{pmatrix}=d^n n\left(-2 \right)^{n-1}$ .

Τελικά: $\displaystyle \det A= \left(-2 \right)^{n-1} d^n\left(2a+nd \right)$ .

IMC 1996/1/1

IMC 1996/1/1

Re: IMC 1996/1/1

Μέλη σε σύνδεση