IMC 1996/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1996/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 23, 2012 3:40 pm

Έστω a,d \in \mathbb{R}. Να υπολογιστεί η ορίζουσα του (n+1) \times (n+1) πίνακα A με A_{ij} = a + |i-j|d.
Έχει δοθεί σωστή απάντηση από τον Νίκο εδώ αλλά λείπουν οι πράξεις.


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: IMC 1996/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Απρ 23, 2012 5:11 pm

H τελευταία γραμμή του \displaystyle \left(n+1 \right)\times \left(n+1 \right) πίνακα είναι η \displaystyle a+nd, a+\left(n-1 \right)d,..., a.Aφαιρούμε πό την τελευταία στήλη την προτελευταία οπότε γίνεται \displaystyle \left(d,d,d,...,d,-d \right). Τώρα από την n γραμμη αφαιρούμε την n-1 γραμμή οπότε η n- οστή γραμμή γίνεται \displaystyle \left(d,d,d,...,-d,-d \right).Συνεχίζοντας παρόμοια στην i γραμμή θα υπάρχουν στις πρώτες i-1θέσεις d και στις υπόλοιπες -d.'Ετσι φτάνουμε μέχρι την 2 γραμμή από την οποία αφαιρούμε την πρώτη. Άρα \displaystyle \det A=\det B+ \det C. Όπου ο B είναι ένας \displaystyle \left(n+1 \right)\times \left(n+1 \right) πίνακας με πρώτη γραμμή την \displaystyle \left(a,a,...,a \right) και οι υπόλοιπες γραμμές ίδιες με του γραμμοισοδύναμου του αρχικού με την διαδοχική αφαίρεση γραμμών.

Δηλαδή: \displaystyle \det B=\det \begin{pmatrix} 
a & a &...  & a &a \\  
 d&-d  &...  &-d  &-d \\  
 d&  d& ... & -d &-d \\  
... &...  &...  &...  &... \\  
 d& d & d &... & -d 
\end{pmatrix}=ad^{n}\det\begin{pmatrix} 
1 & 1 &...  & 1 &1 \\  
 1&-1  &...  &-1  &-1 \\  
 1&  1& ... & -1 &-1 \\  
... &...  &...  &...  &... \\  
 1& 1 & 1 &... & -1 
\end{pmatrix}, Στον τελευατιο πινακα προσθέτουμε την πρώτη γραμμάη σε όλες τις υπόλοιπες. Αναπτύσοντας από από την τελευταία στήλη προκυπτει κάτω τριγωνικός πίνακας με 2 στην κυρια διαγώνιο άρα: \displaystyle \det B =ad^n \left(-2 \right)^n.

Επίσης για τον άλλο πίνακα: \displaystyle \det C=\det \begin{pmatrix} 
0 & d &...  & \left(n-1 \right)d &nd \\  
 d&-d  &...  &-d  &-d \\  
 d&  d& ... & -d &-d \\  
... &...  &...  &...  &... \\  
 d& d & d &... & -d 
\end{pmatrix}=d^{n+1}\det \begin{pmatrix} 
0 & 1 &...  & n-1 &n \\  
 1&-1  &...  &-1  &-1 \\  
 1&  1& ... & -1 &-1 \\  
... &...  &...  &...  &... \\  
 1& 1 & 1 &... & -1 
\end{pmatrix}. Τώρα προσθέτουμε την πρώτη στήλη σε όλες τις υπόλοιπες οπότε: \displaystyle \det C=d^{n+1}\det \begin{pmatrix} 
0 & 1 &...  & n-1 &n \\  
 1&0  &...  &0  &0 \\  
 1&  2& ... & 0 &0 \\  
... &...  &...  &...  &... \\  
 1& 2 & 2 &... & 0 
\end{pmatrix}= \displaystyle d^{n+1} n \left(-1 \right)^{n} \det \begin{pmatrix} 
1 & 0 &...  &0 \\  
 1& 2 &...  & 0\\  
 1& 2 & ... &0 \\  
 1& 2 &...  &2  
\end{pmatrix}=d^n n\left(-2 \right)^{n-1}.

Τελικά: \displaystyle \det A= \left(-2 \right)^{n-1} d^n\left(2a+nd \right).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης