IMC 1996/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1996/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 23, 2012 3:41 pm

Έστω n φυσικός αριθμός. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin{nx}}{(1+2^x) \sin{x}} \, dx.}


Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: IMC 1996/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Δευ Απρ 23, 2012 5:15 pm

\displaystyle I_n=\int_{-\pi }^{\pi }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}=\int_{0 }^{\pi }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}+\int_{-\pi }^{0 }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}=\int_{0 }^{\pi }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}+\int_{0 }^{\pi }{\frac{sin(nu)}{(1+2^{-u})sinu}du}=\int_{0 }^{\pi }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}+\int_{0 }^{\pi }{\frac{2^{u}\cdot sin(nu)}{(1+2^{u})sinu}du}  =\int_{0}^{\pi }{\frac{sin(nx)}{sinx}dx}\Longrightarrow \boxed{I_{n}-I_{n-2}=0}

Kαθώς σύμφωνα με τον τύπο:
\displaystyle sina-sinb=2sin\left(\frac{a}{2}-\frac{b}{2} \right)cos\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2} \right)

είναι:
\displaystyle I_{n}-I_{n-2}=\int_{0}^{\pi }{\frac{sin(nx)-sin(n-2)x}{sinx}dx}=\int_{0}^{\pi }{\frac{2sinx\cdot cos(n-1)x}{sinx}dx}=2\int_{0}^{\pi }{cos(n-1)xdx}=0

Επειδή όμως εύκολα βρίσκουμε:\displaystyle I_0=0,I_1=\pi

τελικά:
\displaystyle I_n=\begin{cases} 
 0, \;\;\; n=2k  \\  
  \pi,\;\;\; n=2k+1 
\end{cases},k\in \mathbb{N}


Στραγάλης Χρήστος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης