IMC 1996/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1996/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 24, 2012 12:21 pm

Έστω συνεχής συνάρτηση f:[0,1] \to [0,1] και x_0 \in [0,1]. Ορίζουμε την ακολουθία (x_n) επαγωγικά με x_{n+1} = f(x_n) για n \geqslant 0. Να δειχθεί ότι η ακολουθία συγκλίνει αν και μόνο αν \displaystyle{\lim_{n\to \infty} (x_{n+1}-x_n) = 0.}


peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: IMC 1996/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Τρί Απρ 24, 2012 6:18 pm

Έστω ότι x_{n+1}-x_n\to 0. Τότε f(x_n)-x_n\to 0. Παρατηρούμε ότι κάθε οριακό σημείο της (x_n) είναι σταθερό σημείο της f. Έστω ότι η (x_n) δεν είναι συγκλίνουσα. Τότε, 0\leq a=\liminf x_n<\limsup x_n=b\leq 1. Άρα, το διάστημα [a,b] είναι μη τετριμμένο. Από το θεώρημα Baroni έπεται ότι κάθε x\in [a,b] είναι σταθερό σημείο της f. Επιπλέον, υπάρχει n_0\in \mathbb N ώστε x_{n_0}\in (a,b). Εφαρμόζοντας διαδοχικά την f στο x_{n_0} παίρνουμε όλους τους επόμενους όρους της (x_n) ίσους με x_{n_0}, δηλαδή η (x_n) είναι τελικά σταθερή, άτοπο.

To αντίστροφο είναι άμεσο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης