IMC 1996/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1996/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 24, 2012 12:25 pm

Έστω \theta θετικός πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι αν k φυσικός και οι \cosh{k\theta} και \cosh{(k+1)\theta} είναι και οι δύο ρητοί, τότε και ο \cosh{\theta} είναι ρητός.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 1996/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Απρ 30, 2012 4:08 pm

Παρατηρούμε πρώτα ότι για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}} και κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n} ισχύει:

\displaystyle{\cosh \left( x \right) = \cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x - nx} \right] = \cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot \cosh \left( {nx} \right) - \sinh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot \sinh \left( {nx} \right) = }

\displaystyle{ = \cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot \cosh \left( {nx} \right) - \sqrt {{{\cosh }^2}\left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] - 1} \sqrt {{{\cosh }^2}\left( {nx} \right) - 1} }

ή ισοδύναμα

\displaystyle{\left( {{{\cosh }^2}\left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] - 1} \right)\left( {{{\cosh }^2}\left( {nx} \right) - 1} \right) = }

\displaystyle{ = {\cosh ^2}\left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot {\cosh ^2}\left( {nx} \right) - 2\cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot \cosh \left( {nx} \right) \cdot \cosh \left( x \right) + {\cosh ^2}\left( x \right)} \bf \color{red} \left(1 \right)

και

\displaystyle{\cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] = 2\cosh \left( {nx} \right)\cosh \left( x \right) - \cosh \left[ {\left( {n - 1} \right)x} \right].} \bf \color{red} \left(2 \right)

Υποθέτουμε ότι \displaystyle{k \ge 2} και θέτουμε \displaystyle{r: = \cosh \left( {k\theta } \right) \in \mathbb{Q}} και \displaystyle{s := \cosh \left[ {\left( {k + 1} \right)\theta } \right] \in \mathbb{Q}.}

Επίσης, θέτουμε \displaystyle{u: = \cosh \left( {{k^2}\theta } \right)} και \displaystyle{v: = \cosh \left[ {\left( {{k^2} - 1} \right)\theta } \right].}

Θέτοντας στην \bf \color{red} \left(1 \right) \displaystyle{n = k} και \displaystyle{x = \theta } βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{\left( {{r^2} - 1} \right)\left( {{s^2} - 1} \right) = {r^2}{s^2} - 2rs\cosh \left( \theta  \right) + {\cosh ^2}\left( \theta  \right) \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow {r^2} + {s^2} - 1 = 2rs\cosh \left( \theta  \right) - {\cosh ^2}\left( \theta  \right)}. \bf \color{red} \left(3 \right)

Θέτοντας στην \bf \color{red} \left(1 \right) \displaystyle{n = k^2 -1} και \displaystyle{x = \theta } βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{\left( {{u^2} - 1} \right)\left( {{v^2} - 1} \right) = {u^2}{v^2} - 2uv\cosh \left( \theta  \right) + {\cosh ^2}\left( \theta  \right) \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow {u^2} + {v^2} - 1 = 2uv\cosh \left( \theta  \right) - {\cosh ^2}\left( \theta  \right).}\bf \color{red} \left(4 \right)

Με αφαίρεση της \bf \color{red} \left(3 \right) από την \bf \color{red} \left(4 \right) προκύπτει ότι:

\displaystyle{{u^2} + {v^2} - {r^2} - {s^2} = 2\left( {uv - rs} \right)\cosh \left( \theta  \right).} \bf \color{red} \left(5 \right)

Από τη σχέση \bf \color{red} \left(2 \right) με \displaystyle{x = k \theta } και \displaystyle{x = \left( {k + 1} \right)\theta } προκύπτει (εύκολα) επαγωγικά ότι

\displaystyle{u = \cosh \left( {k \cdot k\theta } \right) \in \mathbb{Q} }

και αντίστοιχα

\displaystyle{v = \cosh \left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)\theta } \right] \in \mathbb{Q}.} }

Εφόσον η συνάρτηση \displaystyle{\cosh } είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)} και \displaystyle{{\theta  > 0}}, θα είναι \displaystyle{u > r} και \displaystyle{v > s.} Επομένως, είναι \displaystyle{uv - rs \ne 0} και από τη σχέση \bf \color{red} \left(5 \right) προκύπτει ότι:

\displaystyle{\cosh \left( \theta  \right) = \frac{{{u^2} + {v^2} - {r^2} - {s^2}}}{{2\left( {uv - rs} \right)}}\in \mathbb{Q}.}


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης