IMC 1996/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1996/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 24, 2012 12:29 pm

Έστω G η υποομάδα της GL(2,\mathbb{R}) που γεννάται από τους πίνακες \displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} } και \displaystyle{ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} }. Έστω H το σύνολο των πινάκων της G της μορφής \displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 1\end{pmatrix} }.

(α) Να δειχθεί ότι η H είναι αβελιανή υποομάδα της G.
(β) Να δειχθεί ότι η H δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενη.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 1996/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 06, 2012 5:12 pm

(α) Παρατηρούμε ότι το σύνολο G' των πινάκων της μορφής \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & 1\end{pmatrix} με x \in \mathbb{Q}^{\ast},y\in \mathbb{Q} είναι υποομάδα της GL(2,\mathbb{R}) η οποία περιέχει την G. Άρα κάθε πίνακας C της H είναι της μορφής C(y) = \begin{pmatrix} 1 & y \\ 0 & 1\end{pmatrix} με y\in \mathbb{Q} και άρα κάθε δυο πίνακες της H αντιμετατίθενται. Τέλος, αν C(y),C(z) \in H, τότε C(y),C(z) \in G, άρα C(y)C(z)^{-1} = C(y)C(-z) = C(y-z) \in H. Άρα η H είναι πράγματι ομάδα η οποία πρέπει να είναι αβελιανή.

(β) Αν η H ήταν πεπερασμένα παραγόμενη, έστω από τα C(q_1),\ldots,C(q_k), τότε κάθε πίνακας της H θα ήταν της μορφης C(\sum n_iq_i) με n_i \in \mathbb{Z}. Επομένως θα υπήρχε μέγιστο d \in \mathbb{N} ώστε κάθε πίνακας της H θα ήταν της μορφής C(m/d) για κάποιο m \in \mathbb{Z}. Παρατηρούμε όμως ότι A^{-n}BA^n = C(2^{-n}) \in H και καταλήγουμε σε άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης