IMC 1997/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1997/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 30, 2012 4:38 pm

Έστω ότι η σειρά \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n} συγκλίνει. Να εξεταστεί αν τα ακόλουθα αθροίσματα συγκλίνουν επίσης

(α) \displaystyle{a_1 +a_2 +a_4 +a_3 +a_8 +a_7 +a_6 +a_5 +a_{16} +a_{15} + \cdots +a_9 + a_{32} + \cdots.}
(β) \displaystyle{a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5 +a_7 +a_6 +a_8 +a_9 +a_{11} +a_{13} +a_{15} +a_{10} + a_{12} +a_{14} +a_{16} +a_{17} +a_{19} + \cdots.}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 1997/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 06, 2012 5:51 pm

(α) Ναι συγκλίνει. Ας υποθέσουμε πως η \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n} συγκλίνει στο \ell αλλά αυτό δεν ισχύει για την σειρά στο (α). Τότε χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υπάρχει \varepsilon > 0, n αρκετά μεγάλο και 0 \leqslant r < 2^n ώστε
(1) \displaystyle{\ell - \varepsilon < \sum_{k=1}^{m} a_k < \ell + \varepsilon} για κάθε m \geqslant 2^n.
(2) \displaystyle{ \sum_{k=1}^{2^n} a_k + \sum_{k=0}^{r} a_{2^{n+1} - k} > \ell + 3\varepsilon. }

Από τις (1) και (2) όμως λαμβάνουμε ότι

\displaystyle{ \ell - \varepsilon < \sum_{k=1}^{2^{n+1} - r-1} a_{k} = \sum_{k=1}^{2^n} a_k + \sum_{k=1}^{2^{n+1}} a_k - \left(\sum_{k=1}^{2^n} a_k + \sum_{k=0}^{r} a_{2^{n+1} - k} \right) < \ell - \varepsilon,}

άτοπο.

(β) Για 2^k < n \leqslant 2^{k+1} θέτουμε a_n = 1/2^{k+1} αν n περιττός και -1/2^{k+1} αν n άρτιος. Τότε η \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n} συγκλίνει αλλά (για n > 1).
(1) Tο μερικό άθροισμα με τελευταίο όρο το a_{2^{n}} της δοσμένης αναδιάταξης ισούται με \displaystyle{ 1/2.}
(2) Tο μερικό άθροισμα με τελευταίο όρο το a_{2^{n}-1} της δοσμένης αναδιάταξης ισούται με \displaystyle{ 3/4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης