IMC 1997/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1997/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 30, 2012 4:40 pm

Έστω A,B πραγματικοί n \times n πίνακες με A^2 + B^2 = AB. Να αποδειχθεί ότι αν ο BA-AB είναι αντιστρέψιμος τότε το n είναι πολλαπλάσιο του 3.


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: IMC 1997/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Απρ 30, 2012 5:02 pm

Μια λύση. Έστω \displaystyle \omega =e^{\pi i/3}, τότε παρατηρούμε ότι: \displaystyle \left(A -\omega B \right)\left(A-\omega^{-1} B \right)=A^2 +B^2 -\omega^{-1} AB -\omega BA=\left(1-\omega^{-1} \right)AB-\omega BA \displaystyle =\omega\left(AB-BA \right).

Άρα \displaystyle \det\left(A-\omega B \right)\det\left(A-\omega^{-1}B \right)=\omega^{n}\det\left(AB-BA \right).Επειδή \displaystyle \exists (AB-BA)^{-1} \Rightarrow \det\left(AB-BA \right)\neq 0.Άρα \displaystyle \omega^{n} =\frac{\det\left(A-\omega B \right)\det\left(A-\omega^{-1}B \right)}{\det\left(AB-BA \right)}, όμως \displaystyle \det\left(A-\omega B \right)\det\left(A-\omega^{-1}B \right)=\left|\det\left(A-\omega B \right) \right|^2 \in \mathbb{R}.Άρα πρέπει \displaystyle \exp\left(\frac{n\pi i}{3} \right)\in \mathbb{R}\Rightarrow n\equiv 0\left(\mod 3 \right).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης