IMC 1997/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1997/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 04, 2012 2:04 pm

Έστω f \in C^3(\mathbb{R}) μη αρνητική συνάρτηση με f(0) = f'(0) = 0 και f''(0) > 0. Έστω
\displaystyle{ g(x) = \begin{cases} \left( \frac{\sqrt{f(x)}}{f'(x)}\right)' & \textnormal{\gr αν } x \neq 0, \\ 0 & \textnormal{\gr αν } x=0.\end{cases}}
Να δειχθεί ότι η f είναι φραγμένη σε μια περιοχή του μηδενός. Ισχύει το θεώρημα αν f \in C^2(\mathbb{R});


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: IMC 1997/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Μάιος 04, 2012 6:27 pm

Η f είναι και C^2(\mathbb{R}) οπότε έχει θετική δεύτερη παράγωγο σε μια περιοχή του 0, οπότε από θεώρημα Rolle εύκολα έχει μη μηδενική πρώτη παράγωγο στην ίδια περιοχή χωρίς το 0. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα πλευρικά όρια της συνάρτησης αυτής στο 0 είναι πεπερασμένα (γιατί;).

Έστω h(x) = \frac{f(x)}{(f'(x))^2}. Από DLH εύκολα: \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{h(x)} = \frac{1}{2f''(0)}
που είναι θετικό και πεπερασμένο.

Ακόμα, η f είναι εύκολα θετική σε μια περιοχή του 0f έχει τοπικό ελάχιστο το στο 0 το 0), ενώ η παράγωγος αυτής είναι θετική δεξιά του 0 και αρνητική αριστερά του 0. 'Αρα η συνάρτηση που εξετάζουμε είναι καλά ορισμένη και είναι η:
(\sqrt{h(x)})' = \frac{h'(x)}{2\sqrt{h(x)}} δεξιά του 0, και η αντίθετη αυτής αριστερά του 0. Εξετάζουμε το όριο στο 0+, διότι το άλλο γίνεται ανάλογα:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0+}{(\sqrt{h(x)})'} = f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{(f'(x))^3 - 2f(x)f'(x)f''(x)}{(f'(x))^4} =}
\displaystyle{f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{(f'(x))^2 - 2f(x)f''(x)}{(f'(x))^3} = f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{2f'(x)f''(x) - 2f'(x)f''(x) - 2f(x)f'''(x)}{3(f'(x))^2f''(x)} = }
\displaystyle{f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{-2f(x)f'''(x)}{3(f'(x))^2f''(x)} = f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{-\frac{2}{3}f''(0)h(x)\frac{f'''(x)}{f''(x)}} = -\frac{2}{3}f''(0)\frac{1}{2f''(0)}\frac{f'''(0)}{f''(0)}}}
το οποίο είναι πεπερασμένο, οπότε τελειώσαμε.

Το C^2(\mathbb{R}) δεν μας αρκεί, καθώς αν δεν χάνω κάτι βρήσκω αντιπαράδειγμα το:

f(x) = \int_{0}^{x}{\int_{0}^{y}{\sqrt{t}dtdy}} + x^2

Γιατί μου φαίνεται ότι αρκεί μόνο η ύπαρξη 3ης παραγώγου σε μια περιοχή του 0;


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες