IMC 1997/2/1

Έστω $f \in C^3(\mathbb{R})$ μη αρνητική συνάρτηση με f(0) = f'(0) = 0

και

. Έστω
$\displaystyle{ g(x) = \begin{cases} \left( \frac{\sqrt{f(x)}}{f'(x)}\right)' & \textnormal{\gr αν } x \neq 0, \\ 0 & \textnormal{\gr αν } x=0.\end{cases}}$
Να δειχθεί ότι η

είναι φραγμένη σε μια περιοχή του μηδενός. Ισχύει το θεώρημα αν $f \in C^2(\mathbb{R})$ ;

Nick1990

Η

είναι και $C^2(\mathbb{R})$ οπότε έχει θετική δεύτερη παράγωγο σε μια περιοχή του

, οπότε από θεώρημα Rolle εύκολα έχει μη μηδενική πρώτη παράγωγο στην ίδια περιοχή χωρίς το

. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα πλευρικά όρια της συνάρτησης αυτής στο

είναι πεπερασμένα (γιατί;).

Έστω $h(x) = \frac{f(x)}{(f'(x))^2}$ . Από DLH εύκολα: $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{h(x)} = \frac{1}{2f''(0)}$
που είναι θετικό και πεπερασμένο.

Ακόμα, η

είναι εύκολα θετική σε μια περιοχή του

(η

έχει τοπικό ελάχιστο το στο

το

), ενώ η παράγωγος αυτής είναι θετική δεξιά του

και αρνητική αριστερά του

. 'Αρα η συνάρτηση που εξετάζουμε είναι καλά ορισμένη και είναι η:
$(\sqrt{h(x)})' = \frac{h'(x)}{2\sqrt{h(x)}}$ δεξιά του

, και η αντίθετη αυτής αριστερά του

. Εξετάζουμε το όριο στο

, διότι το άλλο γίνεται ανάλογα:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0+}{(\sqrt{h(x)})'} = f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{(f'(x))^3 - 2f(x)f'(x)f''(x)}{(f'(x))^4} =}$
$\displaystyle{f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{(f'(x))^2 - 2f(x)f''(x)}{(f'(x))^3} = f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{2f'(x)f''(x) - 2f'(x)f''(x) - 2f(x)f'''(x)}{3(f'(x))^2f''(x)} = }$
$\displaystyle{f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{\frac{-2f(x)f'''(x)}{3(f'(x))^2f''(x)} = f''(0)\lim_{x \rightarrow 0+}{-\frac{2}{3}f''(0)h(x)\frac{f'''(x)}{f''(x)}} = -\frac{2}{3}f''(0)\frac{1}{2f''(0)}\frac{f'''(0)}{f''(0)}}}$
το οποίο είναι πεπερασμένο, οπότε τελειώσαμε.

Το $C^2(\mathbb{R})$ δεν μας αρκεί, καθώς αν δεν χάνω κάτι βρήσκω αντιπαράδειγμα το:

$f(x) = \int_{0}^{x}{\int_{0}^{y}{\sqrt{t}dtdy}} + x^2$

Γιατί μου φαίνεται ότι αρκεί μόνο η ύπαρξη 3ης παραγώγου σε μια περιοχή του

;

IMC 1997/2/1

IMC 1997/2/1

Re: IMC 1997/2/1

Μέλη σε σύνδεση