Η

είναι και

οπότε έχει θετική δεύτερη παράγωγο σε μια περιοχή του

, οπότε από θεώρημα Rolle εύκολα έχει μη μηδενική πρώτη παράγωγο στην ίδια περιοχή χωρίς το

. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα πλευρικά όρια της συνάρτησης αυτής στο

είναι πεπερασμένα (γιατί;).
Έστω

. Από DLH εύκολα:
που είναι θετικό και πεπερασμένο.
Ακόμα, η

είναι εύκολα θετική σε μια περιοχή του

(η

έχει τοπικό ελάχιστο το στο

το

), ενώ η παράγωγος αυτής είναι θετική δεξιά του

και αρνητική αριστερά του

. 'Αρα η συνάρτηση που εξετάζουμε είναι καλά ορισμένη και είναι η:

δεξιά του

, και η αντίθετη αυτής αριστερά του

. Εξετάζουμε το όριο στο

, διότι το άλλο γίνεται ανάλογα:

το οποίο είναι πεπερασμένο, οπότε τελειώσαμε.
Το

δεν μας αρκεί, καθώς αν δεν χάνω κάτι βρήσκω αντιπαράδειγμα το:
Γιατί μου φαίνεται ότι αρκεί μόνο η ύπαρξη 3ης παραγώγου σε μια περιοχή του

;