IMC 1997/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1997/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 04, 2012 2:07 pm

Έστω M αντιστρέψιμος 2n \times 2n πίνακας ώστε σε μπλοκ μορφή να έχουμε τις αναπαραστάσεις \displaystyle{ M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}} και \displaystyle{ M^{-1} = \begin{bmatrix} E & F \\ G & H \end{bmatrix}}. Να δειχθεί ότι \det(M)\det(H) = \det(A).


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 1997/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Παρ Μάιος 04, 2012 3:28 pm

Παρατηρούμε ότι

\displaystyle{M{M^{ - 1}} = {I_{2n}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   A & B  \\ 
   C & D  \\ 
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   E & F  \\ 
   G & H  \\ 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{I_n}} & {{O_n}}  \\ 
   {{O_n}} & {{I_n}}  \\ 
\end{array}} \right]\Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {AE + BG = {I_n} = CF + DH}  \\ 
   {CE + DG = {O_n} = AF + BH}  \\ 
\end{array}} \right\}.}

Επομένως, είναι:

\displaystyle{\det \left( M \right)\det \left( H \right) = \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   A & B  \\ 
   C & D  \\ 
\end{array}} \right] \cdot \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{I_n}} & F  \\ 
   {{O_n}} & H  \\ 
\end{array}} \right] = }

\displaystyle{ = \det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   A & B  \\ 
   C & D  \\ 
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{I_n}} & F  \\ 
   {{O_n}} & H  \\ 
\end{array}} \right]} \right) = \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   A & {AF + BH}  \\ 
   C & {CF + DH}  \\ 
\end{array}} \right] = }

\displaystyle{ = \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   A & {{O_n}}  \\ 
   C & {{I_n}}  \\ 
\end{array}} \right] = \det \left( A \right)}

και το ζητούμενο δείχθηκε.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης