IMC 1997/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1997/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 04, 2012 2:09 pm

Να δειχθεί ότι η \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin(\log{n})}{n^{\alpha}} } συγκλίνει αν και μόνο αν \alpha > 0.


peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: IMC 1997/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Σάβ Μάιος 05, 2012 12:31 am

Είναι γνωστό το εξής λήμμα τύπου Leibniz:

Λήμμα. Έστω (x_n) ακολουθία φραγμένης κύμανσης (δηλ. \sum_{n=1}^\infty |x_n-x_{n+1}|<\infty) με x_n\to 0. Τότε, η σειρά \sum_{n=1}^\infty (-1)^n x_n συγκλίνει.

Εδώ έχουμε x_n=f(n), όπου f(x)=\frac{\sin (\log x)}{x^\alpha} , \, x>0. Εύκολα βλέπουμε ότι |f'(x)|\leq \frac{1+\alpha}{x^{1+\alpha}} για κάθε x>0, άρα από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι |x_n-x_{n+1}|=O(\frac{1}{n^{1+\alpha}}), γεγονός που αποδεικνύει ότι η (x_n) είναι φραγμένης κύμανσης. Προφανώς, x_n\to 0, άρα από το λήμμα έπεται η σύγκλιση της σειράς για κάθε \alpha>0.

Αν \alpha\leq 0 τότε, για την ακολουθία φυσικών αριθμών k_n=\lfloor e^{2n\pi+\pi/2}\rfloor, έπεται ότι ο γενικός όρος δεν πάει στο μηδέν: |x_{k_n}|\nrightarrow 0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης