IMC 1997/2/3
Συντονιστής: Demetres
Re: IMC 1997/2/3
Είναι γνωστό το εξής λήμμα τύπου Leibniz:
Λήμμα. Έστω ακολουθία φραγμένης κύμανσης (δηλ. ) με . Τότε, η σειρά συγκλίνει.
Εδώ έχουμε , όπου . Εύκολα βλέπουμε ότι για κάθε , άρα από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι , γεγονός που αποδεικνύει ότι η είναι φραγμένης κύμανσης. Προφανώς, , άρα από το λήμμα έπεται η σύγκλιση της σειράς για κάθε .
Αν τότε, για την ακολουθία φυσικών αριθμών , έπεται ότι ο γενικός όρος δεν πάει στο μηδέν: .
Λήμμα. Έστω ακολουθία φραγμένης κύμανσης (δηλ. ) με . Τότε, η σειρά συγκλίνει.
Εδώ έχουμε , όπου . Εύκολα βλέπουμε ότι για κάθε , άρα από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι , γεγονός που αποδεικνύει ότι η είναι φραγμένης κύμανσης. Προφανώς, , άρα από το λήμμα έπεται η σύγκλιση της σειράς για κάθε .
Αν τότε, για την ακολουθία φυσικών αριθμών , έπεται ότι ο γενικός όρος δεν πάει στο μηδέν: .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες