IMC 1998/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1998/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μάιος 05, 2012 11:17 pm

Έστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος διάστασης 10 και έστω U_1,U_2 με U_1 \subseteq U_2 υποχώροι του V διαστάσεων 3 και 6 αντίστοιχα. Έστω \mathcal{E} το σύνολο όλων των γραμμικών μετασχηματισμών T:V \to V με T(U_i) \subseteq U_i για i=1,2. Να υπολογιστεί η διάσταση του \mathcal{E} ως πραγματικός διανυσματικός χώρος.


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: IMC 1998/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Σάβ Μάιος 05, 2012 11:55 pm

Θεωρώ ότι κάθε γραμμικός τελεστής του \displaystyle \mathcal{L}\left(V,V \right) παριστάνεται από τον πίνακα ως πρός κάποια βάση \displaystyle \mathcal{B}.Έπειδή \displaystyle \dim U_{1}=3 υπάρχει μια βάση \displaystyle \left\{v_{1},v_{2},v_{3} \right\}.Μπορώ να επεκτείνω την βάση αυτή σε μια βάση του U_{2} μιας και είναι γνήσιως υπόχωρός του ο U_{1}.Άρα \displaystyle U_{2}=\mathrm{span }\left\{v_{1},v_{2},v_{3} \right\} \oplus \mathrm{span }\left\{m_{1},m_{2} \right\}.Με παρόμοιο τρόπο επεκτέινουμε την βάση του τελευταίοιυ σε μια βάση ολοκλήρου του V: \displaystyle V=\mathrm{span }\left\{v_{1},v_{2},v_{3} \right\} \oplus \mathrm{span }\left\{m_{1},m_{2} \right\}\oplus \mathrm{span }\left\{w_{1},w_{2},w_{3} \right\}.

Τότε επειδή οι \displaystyle U_{1},U_{2} είναι T αναλλοίωτοι προκύπτει ότι η έκφραση των \displaystyle T\left(v_{1} \right),T\left(v_{2} \right),T\left(v_{3} \right) θα έχουν μηδενικούς συντελεστές από την 4-η θέση και κάτω.Όμοια για τα διανύσματα \displaystyle T\left(m_{1} \right),T\left(m_{2} \right),T\left(m_{3} \right), μόνο που οι θέσεις από την 7-η και κάτω είοναι μηδέν.Τα υπόλοιπα στοιχέια της βάσης μπορούν στην αναλυσή τους στα βασικά διανύσματα να έχουν ο,τιδήποτε.Συνεπώς θεωρώντας τον γραμμικό ισομορφισμό: \displaystyle N:\mathcal{E}\rightarrow J\subseteq \mathbb{R}^{10\times 10}:N\left(T \right)=\left(T:\mathcal{B},\amthcal{B} \right).Tότε \displaystyle \dim\mathcal{E}=\dim J=9+3\cdot 6+4\cdot 10=67.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης