IMC 1998/1/2

Να δειχθεί ότι η ακόλουθη πρόταση ισχύει για n=3,5

αλλά όχι για n=4

.

Έστω

η ομάδα μεταθέσεων του $\{1,2,\ldots,n\}$ και έστω $\pi_1 \in S_n$ μη ταυτοτική. Τότε υπάρχει $\pi_2 \in S_n$ ώστε οι $\pi_1,\pi_2$ να παράγουν την S_n

.

Βάζω μια απάντηση μιας και έμεινε καιρό αναπάντητη. Λίγο μπελαλίδικη ειδικά η περίπτωση n=5

αλλά νομίζω δεν θέλει ιδιαίτερη σκέψη για να λυθεί. Μόνο ίσως για να βρούμε κάποια συντόμια ώστε να μην κάνουμε πολλές πράξεις:

Για n=3

. Αρκεί να ελέγξουμε τις περιπτώσεις $\pi_1 = (1 \, 2)$ και $\pi_1 = (1 \, 2 \, 3)$ . Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο τάξης 3 και στην δεύτερη οποιοδήποτε στοιχείο τάξης 2. Και στις δύο περιπτώσεις από Lagrange θα έχουμε ότι η παραγόμενη ομάδα έχει τάξη τουλάχιστον 6 και άρα είναι η S_3

.

Για

: Αρκεί να ελέγξουμε για κάθε τύπο κύκλων. Θα θεωρήσω γνωστό ότι ένας κύκλος μήκους 5 μαζί με μία αντιμετάθεση παράγουν την S_5

. (Πιο γενικά ισχύει ότι ένας κύκλος μήκους

μαζί με μια αντιμετάθεση δυο στοιχείων αυτού του κύκλου παράγουν την S_p

.)

- Για $\pi_1 = (1 \, 2 \, 3 \, 4 \,5)$ παίρνουμε $\pi_2 = (1\, 2)$ και από το πιο πάνω θεώρημα τελειώσαμε
- Για $\pi_1 = (1 \, 2 \, 3 \, 4)$ παίρνουμε $\pi_2 = (1\, 2 \, 3 \, 4\,5)$ . Τότε $\pi_1 \pi_2 = (1 \, 3)(2 \,4 \,5)$ άρα το $(\pi_1\pi_2)^3$ είναι αντιμετάθεση και άρα αφού έχουμε και κύκλο μήκους 5 τελειώσαμε.
- Για $\pi_1 = (1 \, 2 \, 3)$ παίρνουμε $\pi_2 = (1\, 2 \, 4\, 5)$ . Τότε $\pi_1 \pi_2 = (1\,3)(2 \,4 \,5)$ , άρα $(\pi_1\pi_2)^3 = (1\,3)$ και άρα $\pi_2(\pi_1\pi_2)^3 = (1\, 3 \, 2 \, 4 \, 5)$ και τελειώσαμε.
- Για $\pi_1 = (1 \,2 \,3)(4\,5)$ παίρνουμε $\pi_2 = (1\, 2 \, 3 \, 4\,5)$ . Επειδή το $\pi_1^3$ είναι αντιμετάθεση τελειώσαμε.
- Για $\pi_1 = (1 \,2)(3\,4)$ παίρνουμε $\pi_2 = (1\, 3)(2 \, 4\,5)$ . Τότε $\pi_2^3$ είναι αντιμετάθεση. Επίσης $\pi_2^4 = (2 \,4\,5)$ και άρα $\pi_1\pi_2^4 = (1 \, 2 \, 3 \, 4\,5)$ είναι κύκλος μήκους 5 και άρα τελειώσαμε.
- Για $\pi_1 = (1 \,2 )$ παίρνουμε $\pi_2 = (1\, 2 \, 3 \, 4\,5)$ και τελειώσαμε.

Για n=4

θα δείξω ότι για $\pi_1 = (1\,2)(3\,4)$ δεν μπορώ να βρω $\pi_2$ ώστε μαζί να παράγουν την S_4

. Επειδή η $\pi_1$ είναι άρτια μετάθεση πρέπει απαραίτητα η $\pi_1$ να είναι περιττή μετάθεση και άρα να είναι είτε αντιμετάθεση είτε κύκλος μήκους 4.

Όμως οι ομάδες συμμετρίας των τετραγώνων με κορυφές 1,2,3,4

ή

με αυτήν την σειρά περιέχουν τόσο την $\pi_1$ όσο και όλες τις αντιμεταθέσεις και τους κύκλους μήκους 4. Επομένως με οποιοδήποτε τότε $\pi_2$ η ομάδα που παράγεται είναι υποομάδα συμμετρίας τετραγώνου και άρα διάφορη της S_4

.

IMC 1998/1/2

IMC 1998/1/2

Re: IMC 1998/1/2

Μέλη σε σύνδεση