Βάζω μια απάντηση μιας και έμεινε καιρό αναπάντητη. Λίγο μπελαλίδικη ειδικά η περίπτωση

αλλά νομίζω δεν θέλει ιδιαίτερη σκέψη για να λυθεί. Μόνο ίσως για να βρούμε κάποια συντόμια ώστε να μην κάνουμε πολλές πράξεις:
Για

. Αρκεί να ελέγξουμε τις περιπτώσεις

και

. Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο τάξης 3 και στην δεύτερη οποιοδήποτε στοιχείο τάξης 2. Και στις δύο περιπτώσεις από Lagrange θα έχουμε ότι η παραγόμενη ομάδα έχει τάξη τουλάχιστον 6 και άρα είναι η

.
Για

: Αρκεί να ελέγξουμε για κάθε τύπο κύκλων. Θα θεωρήσω γνωστό ότι ένας κύκλος μήκους 5 μαζί με μία αντιμετάθεση παράγουν την

. (Πιο γενικά ισχύει ότι ένας κύκλος μήκους

μαζί με μια αντιμετάθεση δυο στοιχείων αυτού του κύκλου παράγουν την

.)
- Για

παίρνουμε

και από το πιο πάνω θεώρημα τελειώσαμε
- Για

παίρνουμε

. Τότε

άρα το

είναι αντιμετάθεση και άρα αφού έχουμε και κύκλο μήκους 5 τελειώσαμε.
- Για

παίρνουμε

. Τότε

, άρα

και άρα

και τελειώσαμε.
- Για

παίρνουμε

. Επειδή το

είναι αντιμετάθεση τελειώσαμε.
- Για

παίρνουμε

. Τότε

είναι αντιμετάθεση. Επίσης

και άρα

είναι κύκλος μήκους 5 και άρα τελειώσαμε.
- Για

παίρνουμε

και τελειώσαμε.
Για

θα δείξω ότι για

δεν μπορώ να βρω

ώστε μαζί να παράγουν την

. Επειδή η

είναι άρτια μετάθεση πρέπει απαραίτητα η

να είναι περιττή μετάθεση και άρα να είναι είτε αντιμετάθεση είτε κύκλος μήκους 4.
Όμως οι ομάδες συμμετρίας των τετραγώνων με κορυφές

ή

ή

με αυτήν την σειρά περιέχουν τόσο την

όσο και όλες τις αντιμεταθέσεις και τους κύκλους μήκους 4. Επομένως με οποιοδήποτε τότε

η ομάδα που παράγεται είναι υποομάδα συμμετρίας τετραγώνου και άρα διάφορη της

.