IMC 1998/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1998/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μάιος 05, 2012 11:25 pm

Να δειχθεί ότι η ακόλουθη πρόταση ισχύει για n=3,5 αλλά όχι για n=4.

Έστω S_n η ομάδα μεταθέσεων του \{1,2,\ldots,n\} και έστω \pi_1 \in S_n μη ταυτοτική. Τότε υπάρχει \pi_2 \in S_n ώστε οι \pi_1,\pi_2 να παράγουν την S_n.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 1998/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 13, 2013 1:01 pm

Βάζω μια απάντηση μιας και έμεινε καιρό αναπάντητη. Λίγο μπελαλίδικη ειδικά η περίπτωση n=5 αλλά νομίζω δεν θέλει ιδιαίτερη σκέψη για να λυθεί. Μόνο ίσως για να βρούμε κάποια συντόμια ώστε να μην κάνουμε πολλές πράξεις:

Για n=3. Αρκεί να ελέγξουμε τις περιπτώσεις \pi_1 = (1 \, 2) και \pi_1 = (1 \, 2 \, 3). Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο τάξης 3 και στην δεύτερη οποιοδήποτε στοιχείο τάξης 2. Και στις δύο περιπτώσεις από Lagrange θα έχουμε ότι η παραγόμενη ομάδα έχει τάξη τουλάχιστον 6 και άρα είναι η S_3.

Για n=5: Αρκεί να ελέγξουμε για κάθε τύπο κύκλων. Θα θεωρήσω γνωστό ότι ένας κύκλος μήκους 5 μαζί με μία αντιμετάθεση παράγουν την S_5. (Πιο γενικά ισχύει ότι ένας κύκλος μήκους p μαζί με μια αντιμετάθεση δυο στοιχείων αυτού του κύκλου παράγουν την S_p.)

- Για \pi_1 = (1 \, 2 \, 3 \, 4 \,5) παίρνουμε \pi_2 = (1\,  2) και από το πιο πάνω θεώρημα τελειώσαμε
- Για \pi_1 = (1 \, 2 \, 3 \, 4) παίρνουμε \pi_2 = (1\,  2 \, 3 \, 4\,5). Τότε \pi_1 \pi_2 = (1 \, 3)(2 \,4 \,5) άρα το (\pi_1\pi_2)^3 είναι αντιμετάθεση και άρα αφού έχουμε και κύκλο μήκους 5 τελειώσαμε.
- Για \pi_1 = (1 \, 2 \, 3) παίρνουμε \pi_2 = (1\,  2 \, 4\, 5). Τότε \pi_1 \pi_2 = (1\,3)(2 \,4 \,5), άρα (\pi_1\pi_2)^3 = (1\,3) και άρα \pi_2(\pi_1\pi_2)^3 = (1\, 3 \, 2 \, 4 \, 5) και τελειώσαμε.
- Για \pi_1 = (1 \,2 \,3)(4\,5) παίρνουμε \pi_2 = (1\,  2 \, 3 \, 4\,5). Επειδή το \pi_1^3 είναι αντιμετάθεση τελειώσαμε.
- Για \pi_1 = (1 \,2)(3\,4) παίρνουμε \pi_2 = (1\, 3)(2 \, 4\,5). Τότε \pi_2^3 είναι αντιμετάθεση. Επίσης \pi_2^4 = (2 \,4\,5) και άρα \pi_1\pi_2^4 = (1 \, 2 \, 3 \, 4\,5) είναι κύκλος μήκους 5 και άρα τελειώσαμε.
- Για \pi_1 = (1 \,2 ) παίρνουμε \pi_2 = (1\,  2 \, 3 \, 4\,5) και τελειώσαμε.

Για n=4 θα δείξω ότι για \pi_1 = (1\,2)(3\,4) δεν μπορώ να βρω \pi_2 ώστε μαζί να παράγουν την S_4. Επειδή η \pi_1 είναι άρτια μετάθεση πρέπει απαραίτητα η \pi_1 να είναι περιττή μετάθεση και άρα να είναι είτε αντιμετάθεση είτε κύκλος μήκους 4.

Όμως οι ομάδες συμμετρίας των τετραγώνων με κορυφές 1,2,3,4 ή 1,2,4,3 ή 1,3,2,4 με αυτήν την σειρά περιέχουν τόσο την \pi_1 όσο και όλες τις αντιμεταθέσεις και τους κύκλους μήκους 4. Επομένως με οποιοδήποτε τότε \pi_2 η ομάδα που παράγεται είναι υποομάδα συμμετρίας τετραγώνου και άρα διάφορη της S_4.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης