IMC 1998/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1998/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μάιος 05, 2012 11:29 pm

Έστω f_1(x) = 2x(1-x) για x \in \mathbb{R} και f_{n+1}(x) = f_1(f_{n}(x)) για n \geqslant 1.

(α) Να υπολογιστεί το \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx}
(β) Να υπολογιστούν τα \displaystyle{ \int_0^1 f_n(x) \, dx} για n=1,2,\ldots.


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: IMC 1998/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Δευ Ιούλ 30, 2012 4:50 pm

\displaystyle{{f_1}\left( x \right) = 2x\left( {1 - x} \right)} και \displaystyle{{f_{n + 1}}\left( x \right) = {f_1}\left( {{f_n}\left( x \right)} \right)}

\displaystyle{\begin{gathered} 
  \frac{1}{2} - {f_n}\left( x \right) = \frac{1}{2} - 2{f_{n - 1}}\left( x \right)\left( {1 - {f_{n - 1}}\left( x \right)} \right) = 2f_{n - 1}^2\left( x \right) - 2{f_{n - 1}}\left( x \right) + \frac{1}{2} = 2{\left( {\frac{1}{2} - {f_{n - 1}}\left( x \right)} \right)^2} \hfill \\ 
  \begin{array}{*{20}{c}} 
   {\quad \quad \quad \,} & \begin{gathered} 
   = 2{\left( {2{{\left( {\frac{1}{2} - {f_{n - 2}}\left( x \right)} \right)}^2}} \right)^2} = {2^3}{\left( {\frac{1}{2} - {f_{n - 2}}\left( x \right)} \right)^4} = {2^3}{\left( {2{{\left( {\frac{1}{2} - {f_{n - 3}}\left( x \right)} \right)}^2}} \right)^4} = {2^7}{\left( {\frac{1}{2} - {f_{n - 3}}\left( x \right)} \right)^8} =  \hfill \\ 
   = {2^{{2^3} - 1}}{\left( {\frac{1}{2} - {f_{n - 3}}\left( x \right)} \right)^{{2^3}}} = {2^{{2^4} - 1}}{\left( {\frac{1}{2} - {f_{n - 4}}\left( x \right)} \right)^{{2^4}}} = .. = {2^{{2^{n - 1}} - 1}}{\left( {\frac{1}{2} - {f_1}\left( x \right)} \right)^{{2^{n - 1}}}} = {2^{{2^n} - 1}}{\left( {\frac{1}{2} - x} \right)^{{2^n}}} \hfill \\  
\end{gathered}   \\  
\end{array}  \hfill \\  
\end{gathered} }

Άρα \displaystyle{\boxed{{f_n}\left( x \right) = \frac{1}{2} - {2^{{2^n} - 1}}{{\left( {\frac{1}{2} - x} \right)}^{{2^n}}}}}

\displaystyle{\begin{gathered} 
  {I_n} = \int\limits_0^1 {{f_n}\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{2} - {2^{{2^n} - 1}}{{\left( {\frac{1}{2} - x} \right)}^{{2^n}}}} \right)dx}  = \frac{1}{2} - {2^{{2^n} - 1}} \cdot \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{1}{2} - x} \right)}^{{2^n}}}dx}  = \mathop  = \limits^{1/2 - x = y}  =  \hfill \\ 
  \begin{array}{*{20}{c}} 
   {} & { = \frac{1}{2} - {2^{{2^n} - 1}} \cdot \int\limits_{ - 1/2}^{1/2} {{y^{{2^n}}}dx}  = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{{2^n} + 1}} \Rightarrow \boxed{\int\limits_0^1 {{f_n}\left( x \right)dx}  = \frac{{{2^{n - 1}}}}{{{2^n} + 1}}}}  \\  
\end{array}  \hfill \\  
\end{gathered} }

.. και φανερά \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {I_n} = \frac{1}{2}} .


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης