IMC 1998/2/1

#1

Έστω πραγματικός διανυσματικός χώρος

και γραμμικοί μετασχηματισμοί $f,f_1,\ldots,f_k:V \to \mathbb{R}$ . Αν f(x) = 0

για κάθε $x \in V$ με $f_1(x) = \cdots = f_k(x) = 0$ , να δειχθεί ότι η

είναι γραμμικός συνδυασμός των $f_1,\ldots,f_k$ .

algal · #2

Μια σκέψη...

Για την επίλυση της άσκησης θα εξετάσουμε τη σχέση:
cf(x)=c_1f_1(x)+...c_kf_k(x)

(1)
και πιο συγκεκριμένα πρέπει να δείξουμε ότι δεν είναι όλα τα c_i

και

ίσα με το

με

όταν ισχύει ότι f(x)=0

με $x\in V$ και f_1(x)=f_2(x)=...=f_k(x)=0

. (2)
Υποθέτουμε ότι για να ισχύει (1) πρέπει να είναι αναγκαστικά

τα

και

. Αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε σημείο $v\in V$ τέτοιο ώστε f(v)=0

τότε από την c_1f_1(v)+...+c_kf_k(v)=0

και τη συνθήκη c_i=0

συμπεραίνουμε ότι υπάρχει f_j(v)

με

τέτοιο ώστε $f_j(v)\neq 0$ που είναι άτοπο απο τη συνθήκη (2).

#3

algal δεν νομίζω ότι απέδειξες το ζητούμενο.