IMC 1998/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1998/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 06, 2012 4:21 pm

Έστω 0 < c < 1 και έστω \displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{c} & \textnormal{\gr αν } x \in [0,c], \\ \frac{1-x}{1-c} & \textnormal{\gr αν } x \in [c,1].\end{cases}}

Λέμε ότι το x είναι n-περιοδικό αν \displaystyle{ \underbrace{f(f(\cdots f}_{n \, \textnormal{\gr φορές}}(x))) = x} και ο n είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος με αυτήν την ιδιότητα. Να δειχθεί ότι για κάθε n \geqslant 1, το σύνολο των n-περιοδικών σημείων είναι πεπερασμένο και μη κενό.


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: IMC 1998/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Ιουν 19, 2012 5:40 pm

Επειδή \displaystyle{f\left( 0 \right) = 0} και \displaystyle{f\left( {\frac{1}{{2 - c}}} \right) = \frac{{1 - 1/\left( {2 - c} \right)}}{{1 - c}} = \frac{1}{{2 - c}}\quad \left( {\frac{1}{{2 - c}} > c} \right)} έχουμε ότι το σύνολο των \displaystyle{1 - }περιοδικών σημείων είναι μη κενό.

Θεωρούμε το σύνολο των \displaystyle{n + 1} στοιχείων \displaystyle{{A_n} = \left\{ {{x_j} = \frac{{{c^{n - j}}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}}:j = 0,1,..,n} \right\}} . Τότε επειδή \displaystyle{c \in \left( {0,1} \right)} θα έχουμε

\displaystyle{{x_0} = \frac{{{c^n}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} < \frac{{{c^{n - 1}}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} < .. < \frac{1}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} = {x_n}} , δηλαδή η ακολουθία \displaystyle{{x_n}} είναι αύξουσα και επιπλέον ισχύει \displaystyle{{x_n} = \frac{1}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} > c}

ενώ \displaystyle{{x_{n - 1}} = \frac{c}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} < c} (στοιχειώδεις πράξεις), που σημαίνει \displaystyle{{x_0},\;{x_1},\;..,\;{x_{n - 1}} < c} και \displaystyle{{x_n} > c} .

Τότε \displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) = \frac{{{x_0}}}{c} = {x_1}\;,\;f\left( {{x_1}} \right) = \frac{{{x_1}}}{c} = {x_2}\;,\;f\left( {{x_{n - 1}}} \right) = \frac{{{x_{n - 1}}}}{c} = {x_n}} και \displaystyle{f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{1 - {x_n}}}{{1 - c}} = \frac{{1 - \dfrac{1}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}}}}{{1 - c}} = .. = \frac{{{c^n}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} = {x_0}}

Δηλαδή \displaystyle{\underbrace {f\left( {f\left( {f\left( {} \right...f\left( {{x_0}} \right)} \right)} \right)}_{n:times} = {x_0}} , επομένως για κάθε \displaystyle{n \geqslant 1} το σύνολο των \displaystyle{n - }περιοδικών αριθμών είναι μη κενό, και μάλιστα περιέχει τουλάχιστον \displaystyle{n + 1} στοιχεία,

τα \displaystyle{{x_j} = \frac{{{c^{n - j}}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}}:j = 0,1,..,n} (δεν ξέρω, πιθανόν να περιέχει κι’ άλλα).

Έστω ότι υπάρχει \displaystyle{n \in N:} ώστε το σύνολο των \displaystyle{n - }περιοδικών αριθμών να είναι απέραντο. Επειδή είναι φραγμένο σε συμπαγές διάστημα, (είναι στοιχεία του διαστήματος \displaystyle{\left[ {0\;,\;1} \right]} ) τότε θα έχει ένα τουλάχιστον σημείο συσσώρευσης \displaystyle{{x_\sigma }} , (που κατά τετριμμένο τρόπο δεν θα είναι ο αριθμός \displaystyle{c} ). Επομένως σε κάποια περιοχή του σημείου \displaystyle{{x_\sigma }} η συνάρτηση \displaystyle{y\left( x \right) = \underbrace {f\left( {f\left( {f\left( {} \right...f\left( x \right)} \right)} \right)}_{n:times}} θα είναι παραγωγίσιμη και θα ταυτίζεται σε άπειρες θέσεις με την συνάρτηση \displaystyle{\varphi \left( x \right) = x} , επομένως (σύμφωνα με κάποιο θεώρημα που δεν θυμάμαι πως λέγεται), θα ισχύει \displaystyle{\varphi \left( x \right) = y\left( x \right)} , δηλαδή \displaystyle{\underbrace {f\left( {f\left( {f\left( {} \right...f\left( x \right)} \right)} \right)}_{n:times} = x} , για κάθε \displaystyle{x} σε κάποια περιοχή του \displaystyle{{x_\sigma }} , γεγονός που δεν μπορεί να συμβαίνει λόγω της δοθείσας Μαθηματικής έκφρασης της συνάρτησης \displaystyle{f\left( x \right)} , καθώς και της μονοτονίας των δυο κλάδων της \displaystyle{f\left( x \right)} .


Επομένως τα σύνολα των \displaystyle{n-}περιοδικών στοιχείων, με \displaystyle{n \geqslant 1} , είναι μη κενά και πεπερασμένα.



Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 1998/2/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 19, 2012 6:21 pm

Σεραφείμ, μάλλον εννοείς το identity theorem. Θέλει επιπλέον η συνάρτηση να είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμη σε αυτήν την περιοχή (το οποίο ισχύει).

Δεν βλέπω όμως γιατί δεν θα ισχύει y(x) = x για κάθε x σε αυτό το διάστημα. H y θα είναι γραμμική σε αυτό το διάστημα αλλά δεν πρέπει να πούμε κάτι για την κλίση;

Τώρα που το ξαναβλέπω επαγωγικά (με κανόνα αλυσίδας) βλέπουμε ότι η κλίση είναι μεγαλύτερη του 1. Δεν ξέρω αν αυτό είχες υπόψη ή κάτι πιο απλό.


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: IMC 1998/2/3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Ιουν 19, 2012 6:48 pm

Demetres έγραψε:Σεραφείμ, μάλλον εννοείς το identity theorem. Θέλει επιπλέον η συνάρτηση να είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμη σε αυτήν την περιοχή (το οποίο ισχύει).

Δεν βλέπω όμως γιατί δεν θα ισχύει y(x) = x για κάθε x σε αυτό το διάστημα. H y θα είναι γραμμική σε αυτό το διάστημα αλλά δεν πρέπει να πούμε κάτι για την κλίση;

Τώρα που το ξαναβλέπω επαγωγικά (με κανόνα αλυσίδας) βλέπουμε ότι η κλίση είναι μεγαλύτερη του 1. Δεν ξέρω αν αυτό είχες υπόψη ή κάτι πιο απλό.
Νομίζω ότι πεπερασμένη σύνθεση (καθ' οιονδήποτε τρόπο) των δυο Μαθηματικών εκφράσεων του τύπου της \displaystyle{f(x)} δεν μπορεί να δώσει ευθεία με κλίση ίση με \displaystyle{1} . Ίσως πρέπει να αναλυθεί καλύτερα όμως.

Edit: Όντως έχεις δίκιο Δημήτρη, κάθε σύνθεση (όποια κι αν είναι) αυξάνει απολύτως την κλίση, με τελική κατάληξη \displaystyle{\left| \lambda  \right| > 1} .. επίσης πράγματι στο Identity Theorem αναφερόμουν .. που απαιτεί να έχουμε Αναλυτική Μιγαδική συνάρτηση ..


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης