IMC 2012/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2012/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιούλ 28, 2012 4:13 pm

Για κάθε θετικό ακέραιο n συμβολίζουμε με p(n) τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα θετικών ακεραίων. Π.χ. p(4) = 5 διότι
\displaystyle{ 4 = 3+1 = 2+2=2+1+1=1+1+1+1.}
Ορίζουμε επίσης p(0)= 0. Να δειχθεί ότι ο p(n) - p(n-1) είναι ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό n σαν άθροισμα ακεραίων μεγαλύτερων του 1.


nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 402
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm

Re: IMC 2012/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Σάβ Ιούλ 28, 2012 4:56 pm

Eλπίζοντας να μην έχω λάθη από τη βιασύνη μου ;)

Oρίζουμε q(n)=πλήθος τρόπων που μπορείς να γράψεις το n ως άθροισμα ακεραίων μεγαλύτερων του 1 και r(n) το πλήθος των τρόπων που μπορείς να γράψεις το n χρησιμοποιώντας Τουλάχιστον μια φορά το 1. Προφανώς όμως p(n)=q(n)+r(n), ενώ επίσης r(n)=p(n-1) καθώς κάθε κατάλληλος τρόπος γραφής του n μπορεί να δημιουργηθεί γράφοντας πρώτα τον ένα "άσο" που είναι απαραίτητος και μετά συμπληρώνοντας το n-1 με οποιονδήποτε τρόπο.

Aπό τα παραπάνω το ζητούμενο έπεται άμεσα.


Νίκος Αθανασίου
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2012/1/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιούλ 28, 2012 4:59 pm

Ναι έτσι είναι. Αρκετά εύκολο νομίζω.

Δεν ξέρω αν ήθελαν περισσότερες λεπτομέρειες στο ότι η αντιστοιχία που περιγράφει ο Νίκος είναι 1-1 και επί αν και είναι αρκετά προφανές.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης