IMC 2012/1/1

#1

Για κάθε θετικό ακέραιο

συμβολίζουμε με p(n)

τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα θετικών ακεραίων. Π.χ. p(4) = 5

διότι
$\displaystyle{ 4 = 3+1 = 2+2=2+1+1=1+1+1+1.}$
Ορίζουμε επίσης p(0)= 0

. Να δειχθεί ότι ο p(n) - p(n-1)

είναι ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό

σαν άθροισμα ακεραίων μεγαλύτερων του

.

nickthegreek · #2

Eλπίζοντας να μην έχω λάθη από τη βιασύνη μου

Oρίζουμε

=πλήθος τρόπων που μπορείς να γράψεις το

ως άθροισμα ακεραίων μεγαλύτερων του

και

το πλήθος των τρόπων που μπορείς να γράψεις το

χρησιμοποιώντας Τουλάχιστον μια φορά το

. Προφανώς όμως p(n)=q(n)+r(n)

, ενώ επίσης r(n)=p(n-1)

καθώς κάθε κατάλληλος τρόπος γραφής του

μπορεί να δημιουργηθεί γράφοντας πρώτα τον ένα "άσο" που είναι απαραίτητος και μετά συμπληρώνοντας το n-1

με οποιονδήποτε τρόπο.

Aπό τα παραπάνω το ζητούμενο έπεται άμεσα.

#3

Ναι έτσι είναι. Αρκετά εύκολο νομίζω.

Δεν ξέρω αν ήθελαν περισσότερες λεπτομέρειες στο ότι η αντιστοιχία που περιγράφει ο Νίκος είναι 1-1 και επί αν και είναι αρκετά προφανές.

IMC 2012/1/1

IMC 2012/1/1

Re: IMC 2012/1/1

Re: IMC 2012/1/1

Μέλη σε σύνδεση