IMC 2012/2/2

Συντονιστής: Demetres

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

IMC 2012/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιούλ 29, 2012 6:05 pm

Ορίζουμε την ακολουθία a_0,a_1,\dots ως a_0=1, \displaystyle{a_1=\frac{1}{2}} και \displaystyle{a_{n+1}=\dfrac{n a_n^2}{1+(n+1)a_n}, \quad \forall n \ge 1.}
Δείξτε ότι η σειρά \displaystyle{\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \dfrac{a_{k+1}}{a_k}} συγκλίνει και βρείτε την τιμή της.


Θανάσης Κοντογεώργης
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: IMC 2012/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Δευ Αύγ 06, 2012 1:27 pm

Απλό ίσως για δεύτερο.
Είναι na_n-(n+1)a_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_n} (1) για κάθε n \geq 1 με πράξεις. Τώρα επαγωγικά για κάθε n, a_n>0. Έτσι na_n θετική φθίνουσα με όριο l. Για να το βρούμε παίρνουμε όρια στην (1) και καταλήγουμε l=0. Τέλος αθροίζοντας την (1) για n\geq 1 τηλεσκοπικά παίρνουμε \sum_{n \geq 1} \frac{a_{n+1}}{a_n}=a_1-lim (na_n)=a_1.
Άρα το ζητούμενο άθροισμα συγκλίνει και είναι ίσο με \frac{a_1}{a_0}+a_1=1.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: IMC 2012/2/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Δευ Αύγ 06, 2012 9:22 pm

Ηλία, είναι απλό μόνο αν πέσει το μάτι σου. Ο Γιώργος το προσπαθούσε μιάμιση ώρα και δεν το είδε, εμένα μου πήρε 3 ώρες να το δω παλεύοντας μόνο αυτό και το 1.β, και μεταξύ των χρυσών το 1/3 πήρε μονάδες δείχνοντας μόνο τη σύγκλιση (και μεταξύ αυτών διέκρινα και 2-3 με ψηλά χρυσά στην IMO).


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης