IMC 2012/2/2

#1

Ορίζουμε την ακολουθία $a_0,a_1,\dots$ ως a_0=1

, $\displaystyle{a_1=\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{a_{n+1}=\dfrac{n a_n^2}{1+(n+1)a_n}, \quad \forall n \ge 1.}$
Δείξτε ότι η σειρά $\displaystyle{\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \dfrac{a_{k+1}}{a_k}}$ συγκλίνει και βρείτε την τιμή της.

Ilias_Zad · #2

Απλό ίσως για δεύτερο.
Είναι $na_n-(n+1)a_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (1) για κάθε $n \geq 1$ με πράξεις. Τώρα επαγωγικά για κάθε

,

. Έτσι

θετική φθίνουσα με όριο

. Για να το βρούμε παίρνουμε όρια στην (1) και καταλήγουμε l=0

. Τέλος αθροίζοντας την (1) για $n\geq 1$ τηλεσκοπικά παίρνουμε $\sum_{n \geq 1} \frac{a_{n+1}}{a_n}=a_1-lim (na_n)=a_1$ .
Άρα το ζητούμενο άθροισμα συγκλίνει και είναι ίσο με $\frac{a_1}{a_0}+a_1=1$ .

Nick1990 · #3

Ηλία, είναι απλό μόνο αν πέσει το μάτι σου. Ο Γιώργος το προσπαθούσε μιάμιση ώρα και δεν το είδε, εμένα μου πήρε 3 ώρες να το δω παλεύοντας μόνο αυτό και το 1.β, και μεταξύ των χρυσών το 1/3 πήρε μονάδες δείχνοντας μόνο τη σύγκλιση (και μεταξύ αυτών διέκρινα και 2-3 με ψηλά χρυσά στην IMO).

IMC 2012/2/2

IMC 2012/2/2

Re: IMC 2012/2/2

Re: IMC 2012/2/2

Μέλη σε σύνδεση