IMC 2012/2/3

Συντονιστής: Demetres

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

IMC 2012/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιούλ 29, 2012 6:07 pm

Είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων n για τους οποίους ο αριθμός n!+1 διαιρεί τον (2012n)!, πεπερασμένο ή άπειρο;


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: IMC 2012/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Αύγ 02, 2012 2:28 am

Η παρακάτω είναι η λύση που έδωσα στο διαγωνισμό (πήρα 9 για ένα λάθος στις πράξεις), η οποία λίγο διαφέρει από την επίσημη:

Η απάντηση είναι το πεπερασμένο. Γράφουμε:

(2012n)! = n!\times \frac{(2n)!}{n!}\times ... \times \frac{(2012n)!}{(2011n)!} = (n!)^{2012}\binom{2n}{n}\times \binom{3n}{n}\times ... \times \binom{2012n}{n} που διαιρείται με (n!)^{2012}.

Επειδή ((n!)^{2012},n!+1)=1, n!+1|(2012n)! \Rightarrow (n!)^{2012}(n!+1)|(2012n)! \Rightarrow  \frac{(2012n)!}{(n!)^{2012}(n!+1)} \geq 1 το οποίο δεν μπορεί να συμβαίνει για άπειρους n καθώς από Strirling έχουμε:

\frac{(2012n)!}{(n!)^{2012}(n!+1)} \sim \frac{(2012n)!}{(n!)^{2013}} \sim \frac{\sqrt{2\pi 2012n}(\frac{2012n}{e})^{2012n}}{\sqrt{2\pi n}^{2013}(\frac{n}{e})^{2013n}} = \frac{\sqrt{2\pi 2012n}(\frac{2012n}{e})^{2012n}}{\sqrt{2\pi n}^{2013}(\frac{n}{e})^{2012n}(\frac{n}{e})^n} = \frac{\sqrt{2\pi 2012n}(2012)^{2012n}}{\sqrt{2\pi n}^{2013}(\frac{n}{e})^n} = \frac{\sqrt{2\pi 2012n}}{\sqrt{2\pi n}^{2013}(\frac{n}{2012^{2012}e})^n}

που τίνει προφανώς στο 0

edit: ορθογραφικό λάθος.
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Πέμ Αύγ 02, 2012 6:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2012/2/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Αύγ 02, 2012 9:19 am

Βάζω μια διαφορετική απάντηση που βρήκα.

Αν (n!+1)|(2012n!) τότε κάθε πρώτος που διαιρεί τον n!+1 πρέπει να ανήκει στο διάστημα (n+1,2012n). Επομένως η μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί τον n!+1 είναι 2011. Από το θεώρημα των πρώτων αριθμών, για n αρκετά μεγάλο, έχουμε το πολύ 2013n/\log{(2012n)} πρώτους σε αυτό το διάστημα όλους μικρότερους του 2012n άρα πρέπει \displaystyle{ (2012n)^{2011 \cdot \frac{2013n}{\log{(2012n)}}} = e^{2011 \cdot 2013 n} > n!+1} το οποίο για n αρκετά μεγάλο είναι άτοπο από Stirling.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης