IMC 2012/2/4

Συντονιστής: Demetres

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

IMC 2012/2/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιούλ 29, 2012 6:11 pm

Έστω n \ge 2 ένας ακέραιος.
Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς a για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί x_1,x_2,\dots,x_n τέτοιοι ώστε
\displaystyle{x_1(1-x_2)=x_2(1-x_3)=\dots=x_n(1-x_1)=a.}


Θανάσης Κοντογεώργης
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: IMC 2012/2/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Δευ Αύγ 06, 2012 12:33 am

Ωραίο πρόβλημα.
Δίνω μια προσέγγιση:

Για 4a \leq 1 είμαστε οκ για x_1=x_2=..=x με x κατάλληλο.

Υποθέτουμε λοιπόν ότι a> \frac{1}{4}.

Θεωρούμε αρχικά την f(x)=1-\frac{a}{x}.
Τότε βλέπουμε ότι κάθε x_i τηρεί την σχέση f^n(x_i)=f(f(..f(x_i))..)=x_i, όπου η f εφαρμόζεται n φορές, αφού x_1(1-x_2)=a =>x_2=f(x_1) κτλ,δηλαδή κάθε x_i είναι σταθερό σημείο της f^n.

Όμως η f έχει Moebius μορφή ,άρα και η f^n,και μπορεί να προκύψει εύκολα ότι κάθε moebius είναι είτε ταυτοτική είτε έχει το πολύ 2 σταθερά σημεία πάνω από τους μιγαδικούς(προκύπτει μια δευτεροβάθμια).

Αν δεν είναι η f^n ταυτοτική τότε θα έχει σίγουρα 0,1 ή 2 σταθερά σημεία πάνω απο τους μιγαδικούς. Όμως η f έχει σε κάθε περιπτωση 2 σταθερά που τα κληρονομεί και η f^n. Άρα τα σταθερά της f^n είναι τα σταθερά της f ,δηλαδή οι 2 μιγαδικές,μη πραγματικές ρίζες, της x^2-x+a. Όμως κανένα από τα x_i δεν μπορεί να πάρει τέτοια τιμή ,πράγμα αδύνατο.

Άρα έχουμε ότι για a>\frac{1}{4}, πρέπει f^n(x)=x.

Τώρα αν f^k(x)=\frac{a_kx+b_k}{c_kx+d_k},k φυσικός, οι συντελεστές προκύπτουν από γνωστή αντιστοιχία ως τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα
A^k, με A= ( 1, -a| 1, 0 ) .

Άρα πρέπει A^n=rI, r scalar. Συνεπώς το ελάχιστο τουA διαιρεί το x^n-r για κάποιο r.

Όμως το ελάχιστο του A είναι τοx^2-x+a.

Συνεπώς θα πρέπει r^2=a^n και x=a^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{2k\pi}{n}},k φυσικός.Από εδώ εξισώνοντας και με την άλλη τιμή του x παίρνουμε το τελικό a=\frac{1}{4}(1+tan^2(\frac{k\pi}{n})).

Τώρα για κάθε τέτοιο a μπορούμε να πάμε και αντίστροφα επιλέγοντας x_1 τυχαίο και ύστερα x_2=f(x_1),x_3=f(x_2) κτλ

Άρα οι τιμές των a που μας ικανοποιούν είναι ακριβώς οι εξής: όλα τα a<\frac{1}{4} και τα a της μορφής a=\frac{1}{4}(1+tan^2(\frac{k\pi}{n})),k φυσικός


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης