IMC 1999/1/1

Συντονιστής: Demetres

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

IMC 1999/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Σεπ 15, 2012 7:03 pm

(α) Να δειχθεί ότι για κάθε m \in \mathbb{N} υπάρχει πραγματικός m \times m πίνακες A ώστε A^3 = A+I.

(β) Να δειχθεί ότι \det(A) > 0 για κάθε πραγματικό m \times m πίνακα A με A^3 = A+I.


Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: IMC 1999/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Σεπ 15, 2012 7:24 pm

(α) π.χ. A=i\Bbb{I}_m όπου i ρίζα (πραγματική) της i^3=i+1.


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: IMC 1999/1/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Σεπ 15, 2012 7:33 pm

(β) Είναι \displaystyle{|A|^2|A+\Bbb{I}|=|A^2(A+\Bbb{I})|=|A^3+A^2|=|A^2+A+\Bbb{I}|=|\det (A+\omega \Bbb{I})|^2\geq 0 \implies |A+\Bbb{I}|\geq 0.}

Συνεπώς, |A|^3=|A^3|=|A+1|\geq 0\implies |A|\geq 0


H ισότητα όμως δεν είναι δυνατή, διότι διαφορετικά ο A δε θα ήταν αντιστρέψιμος, άτοπο αφού , από τη δοθείσα, A^{-1}=A^2-\Bbb{I}.


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης