IMC 1999/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1999/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Σεπ 15, 2012 7:09 pm

Έστω ότι η συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ικανοποιεί την ανισότητα

\displaystyle{ \left|\sum_{k=1}^n 3^k(f(x+ky)-f(x-ky)) \right| \leqslant 1}

για κάθε θετικό ακέραιο n και κάθε x,y \in \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι η f είναι σταθερή.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 1999/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Σεπ 24, 2012 3:13 pm

Θέτουμε

\displaystyle{{S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{3^k}\left[ {f\left( {x + ky} \right) - f\left( {x - ky} \right)} \right]} },

οπότε από την υπόθεση έχουμε ότι \displaystyle{\left| {{S_n}} \right| \le 1} για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n}.

Παρατηρούμε ότι

\displaystyle{{S_n} - {S_{n - 1}} = {3^n}\left[ {f\left( {x + ny} \right) - f\left( {x - ny} \right)} \right]}

για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n} και κάθε \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}.}

Επομένως,

\displaystyle{\left| {{3^n}\left[ {f\left( {x + ny} \right) - f\left( {x - ny} \right)} \right]} \right| = \left| {{S_n} - {S_{n - 1}}} \right| \le \left| {{S_n}} \right| + \left| {{S_{n - 1}}} \right| \le 2,}

δηλαδή

\displaystyle{\left| {f\left( {x + ny} \right) - f\left( {x - ny} \right)} \right| \le \frac{2}{{{3^n}}}} \bf \color{red} \left( 1 \right)

για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n} και κάθε \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}.}

Έστω \displaystyle{t \in \mathbb{R}.} Στη σχέση \bf \color{red} \left( 1 \right) θέτουμε \displaystyle{x = \frac{t}{2}} και \displaystyle{y = \frac{t}{{2n}}}, οπότε προκύπτει ότι

\displaystyle{\left| {f\left( t \right) - f\left( 0 \right)} \right| \le \frac{2}{{{3^n}}}}

για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n}. Ώστε, ισχύει \displaystyle{{f\left( t \right) = f\left( 0 \right)}} για κάθε \displaystyle{t \in \mathbb{R}} και η \displaystyle{f} είναι σταθερή.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης