IMC 1999/2/1

Έστω ένας όχι απαραίτητα μεταθετικός δακτύλιος

για τον οποίο ισχύει ότι το τετράγωνο κάθε στοιχείου του είναι

. Να δειχθεί ότι abc+abc = 0

για κάθε $a,b,c\in \mathbb{R}$ .

Demetres έγραψε:Έστω ένας όχι απαραίτητα μεταθετικός δακτύλιος για τον οποίο ισχύει ότι το τετράγωνο κάθε στοιχείου του είναι . Να δειχθεί ότι για κάθε $a,b,c\in \mathbb{R}$ .

$\displaystyle{0=(a+b)^2=a^2+b^2+ab+ba=ab+ba \Rightarrow ab=-ba}$

Συνεπώς

$\displaystyle{abc=a(bc)=-((bc))a=-(b(ca))=(ca)b=c(ab)=-((ab)c)=-abc \Rightarrow abc+abc=0}$

IMC 1999/2/1

IMC 1999/2/1

Re: IMC 1999/2/1

Μέλη σε σύνδεση