IMC 1999/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1999/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Σεπ 20, 2012 9:58 pm

Έστω ένας όχι απαραίτητα μεταθετικός δακτύλιος R για τον οποίο ισχύει ότι το τετράγωνο κάθε στοιχείου του είναι 0. Να δειχθεί ότι abc+abc = 0 για κάθε a,b,c\in \mathbb{R}.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: IMC 1999/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Σεπ 21, 2012 7:35 am

Demetres έγραψε:Έστω ένας όχι απαραίτητα μεταθετικός δακτύλιος R για τον οποίο ισχύει ότι το τετράγωνο κάθε στοιχείου του είναι 0. Να δειχθεί ότι abc+abc = 0 για κάθε a,b,c\in \mathbb{R}.
\displaystyle{0=(a+b)^2=a^2+b^2+ab+ba=ab+ba \Rightarrow ab=-ba}

Συνεπώς

\displaystyle{abc=a(bc)=-((bc))a=-(b(ca))=(ca)b=c(ab)=-((ab)c)=-abc \Rightarrow abc+abc=0}


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης