IMC 1999/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1999/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Σεπ 20, 2012 10:03 pm

Έστω x_1,\ldots,x_n \geqslant -1 με \displaystyle{\sum_{k=1}^n x_k^3 = 0.} Να δειχθεί ότι \displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k \leqslant \frac{n}{3}.}


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 1999/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Παρ Σεπ 21, 2012 1:22 am

Με τη "μέθοδο της εφαπτομένης" βρίσκουμε ότι ισχύει η ανισότητα:

\displaystyle{4{x^3} \ge 3x - 1} \bf \color{red} \left( 1 \right)

για κάθε \displaystyle{x \in \left[ { - 1, + \infty } \right)}.

[Πράγματι, η \bf \color{red} \left( 1 \right) γράφεται ισοδύναμα \displaystyle{{\left( {2x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \ge 0} ].

Έχουμε τώρα

\displaystyle{0 = 4\sum\limits_{k = 1}^n {x_k^3}  \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {3{x_k} - 1} \right)}  = 3\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}}  - n \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}}  \le \frac{n}{3}}

και το ζητούμενο δείχθηκε.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες