IMC 2000/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2000/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Σεπ 22, 2012 5:09 pm

(α) Αληθεύει ότι αν η f:[0,1]\to [0,1] είναι αύξουσα τότε υπάρχει x \in [0,1] με f(x) = x;
(β) Αληθεύει ότι αν η f:[0,1]\to [0,1] είναι φθίνουσα τότε υπάρχει x \in [0,1] με f(x) = x;


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2000/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Σεπ 22, 2012 6:26 pm

Η απάντηση στο ερώτημα (α) είναι καταφατική.

Θεωρούμε το σύνολο

\displaystyle{A = \left\{ {x \in \left[ {0,1} \right]:f\left( x \right) \ge x} \right\}.}

Το σύνολο \displaystyle{A} είναι μη κενό (γιατί \displaystyle{0 \in A}) και άνω φραγμένο (από το \displaystyle{1}). Έστω \displaystyle{\xi  = \sup A \in \left[ {0,1} \right]}. Θα αποδείξουμε ότι \displaystyle{f\left( \xi  \right) = \xi }.

Έστω τυχαίο \displaystyle{x \in A}. Τότε, είναι \displaystyle{\xi  \ge x}, κι αφού η \displaystyle{f} είναι αύξουσα, θα είναι \displaystyle{f\left( \xi  \right) \ge f\left( x \right) \ge x}. Επομένως, ο αριθμός \displaystyle{f\left( \xi  \right)} είναι ένα άνω φράγμα του συνόλου \displaystyle{A}, οπότε

\displaystyle{f\left( \xi  \right) \ge \xi }.

Αλλά, πάλι επειδή η \displaystyle{f} είναι αύξουσα, θα είναι \displaystyle{f\left( {f\left( \xi  \right)} \right) \ge f\left( \xi  \right)}, οπότε \displaystyle{f\left( \xi  \right) \in A} και άρα

\displaystyle{f\left( \xi  \right) \le \xi }.

Επομένως, θα ισχύει \displaystyle{f\left( \xi  \right) = \xi }.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2000/1/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Σεπ 22, 2012 6:44 pm

Η απάντηση στο ερώτημα (β) είναι αρνητική, όπως φαίνεται από το παρακάτω σχήμα. Ο τύπος της συνάρτησης \displaystyle{f} είναι:

\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
\displaystyle{1 - \frac{x}{2},}&{0 \le x \le \frac{1}{2}}\\ 
\displaystyle{\frac{{1 - x}}{2},}&{\frac{1}{2} < x \le 1} 
\end{array}} \right.}
Συνημμένα
decreasing.PNG
decreasing.PNG (10.04 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης