IMC 2000/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2000/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Σεπ 22, 2012 5:11 pm

Έστω p(x) = x^5+x και q(x) = x^5+x^2. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη μιγαδικών (w,z) με w\neq z για τα οποία ισχύει ότι p(z) = p(w) και q(z)=q(w).


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6296
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: IMC 2000/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Σεπ 22, 2012 7:29 pm

Demetres έγραψε:Έστω p(x) = x^5+x και q(x) = x^5+x^2. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη μιγαδικών (w,z) με w\neq z για τα οποία ισχύει ότι p(z) = p(w) και q(z)=q(w).
Το ζητούμενο είναι η επίλυση του συστήματος

\displaystyle{\begin{cases}z^5+z=w^5+w,\\ z^5+z^2=w^5+w^2,\\z\ne w.\end{cases}}

Με αφαίρεση κατά μέλη είναι άμεσο ότι \displaystyle{z+w=1.}

Τότε, η πρώτη εξίσωση γράφεται ως

\displaystyle{z^5-w^5+z-w=0,} δηλαδή, λόγω της τρίτης

\displaystyle{z^4+z^3w+z^2w^2+zw^3+w^4+1=0} (I)

Θέτοντας \displaystyle{zw=x} και επειδή είναι \displaystyle{z+w=1,} η (Ι) γράφεται

\displaystyle{(1-2x)^2-x^2+x(1-2x)+1=0,}

δηλαδή \displaystyle{x^2-3x+2=0\implies x=1\vee x=2.}

Απομένει να λυθούν οι εξισώσεις

\displaystyle{t^2-t+1=0,~t^2-t+2=0,}

από τις οποίες βρίσκουμε

\displaystyle{a,b=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2},~ a,b=\frac{1\pm i\sqrt{7}}{2}.}

Η επαλήθευση είναι άμεση.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης