IMC 2000/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2000/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Σεπ 22, 2012 5:13 pm

Έστω A,B τετραγωνικοί μιγαδικοί πίνακες ίδιας τάξης με \mathrm{rank}(AB-BA)=1. Να δειχθεί ότι (AB-BA)^2 = 0.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2000/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Σεπ 22, 2012 6:05 pm

Θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο χαρακτηρισμό της τάξης (rank) ενός πίνακα:

Για έναν \displaystyle{m \times n} πίνακα \displaystyle{X} ισχύει ότι \displaystyle{\mathrm{rank}\left( X \right) = k} αν και μόνο αν \displaystyle{k} είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε να υπάρχει \displaystyle{m \times k} πίνακας \displaystyle{C} και \displaystyle{k \times n} πίνακας \displaystyle{R} με \displaystyle{{X = CR}}.

Εφόσον ισχύει ότι \displaystyle{\mathrm{rank}\left( {AB - BA} \right) = 1}, υπάρχουν \displaystyle{n \times 1} πίνακες (στήλες) \displaystyle{x,y} τέτοιοι, ώστε \displaystyle{{AB - BA = x{y^t}}}.

Αλλά είναι

\displaystyle{tr\left( {AB - BA} \right) = tr\left( {AB} \right) - tr\left( {BA} \right) = 0 \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow tr\left( {x{y^t}} \right) = 0 \Rightarrow tr\left( {{y^t}x} \right) = 0 \Rightarrow {y^t}x = 0,}

αφού ο \displaystyle{{y^t}x} είναι πίνακας \displaystyle{1 \times 1}.

Άρα, είναι

\displaystyle{{C^2} = \left( {x{y^t}} \right)\left( {x{y^t}} \right) = x\left( {{y^t}x} \right){y^t} = O}

και το ζητούμενο δείχθηκε.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: IMC 2000/1/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Σάβ Σεπ 22, 2012 7:13 pm

Σωστά. Το αποτέλεσμα είναι άμεσο επίσης αν δούμε την Jordan μορφή του πίνακα αυτού. Από το ότι έχει rank 1 θα έχει, είτε n-2 μονοδιάστατα blocks μηδενικής ιδιοτιμής και ένα δισδιάστατο μηδενικής γενικευμένης ιδιοτιμής ,είτε n-1 μονοδιάστατα blocks μηδενικής ιδιοτιμής και ένα μονοδιάστατο μη μηδενικής. Το δεύτερο αποκλείεται λόγω του μηδενικού ίχνους και η πρώτη περίπτωση δίνει μηδενικό τετράγωνο με έναν πολλαπλασιασμό με το χέρι.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης