IMC 2000/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2000/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Σεπ 23, 2012 10:48 pm

Έστω f:[0,1] \to \mathbb{R} συνεχή αλλά πουθενά μονότονη. Να δειχθεί ότι το σύνολο των σημείων στα οποία η f λαμβάνει τοπικά ελάχιστα είναι πυκνό στο [0,1].


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: IMC 2000/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Σεπ 24, 2012 10:21 am

Demetres έγραψε:Έστω f:[0,1] \to \mathbb{R} συνεχή αλλά πουθενά μονότονη. Να δειχθεί ότι το σύνολο των σημείων στα οποία η f λαμβάνει τοπικά ελάχιστα είναι πυκνό στο [0,1].
Χρησιμοποιώ το εξής:

Δεν υπάρχει υποδιάστημα \displaystyle{I} του \displaystyle{[0,1]} με την ιδιότητα:

Σε κάθε κλειστό υποδιάστημα του \displaystyle{I} η \displaystyle{f} παρουσιάζει ελάχιστο ή στο αριστερό άκρο ή στο δεξιό του άκρο.

Γιατί αλλιώς η \displaystyle{f} θα ἠταν στο \displaystyle{I} ή αύξουσα ή φθίνουσα.

Έστω τώρα \displaystyle{(a,b)  \subset [0,1]}

Από το παραπάνω θα υπάρχουν \displaystyle{m, n \in (a, \frac {a+b}{2})} και \displaystyle{p,q \in (\frac {a+b}{2},b)} με

\displaystyle{m<n<p<q} και \displaystyle{f(m)>f(n) \wedge f(q)>f(p)}.(1)

Λόγω της συνέχειας η συνάρτηση θα παρουσιάζει ελάχιστο στο \displaystyle{x_0 \in [m,q]} και λόγω της (1)

\displaystyle{x_0 \in (m,q)}, άρα το \displaystyle{f(x_0)} είναι τοπικό ελάχιστο της \displaystyle{f} και \displaystyle{x_0 \in (a,b)} και η απόδειξη της πυκνότητας

τελείωσε


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες