Demetres έγραψε:Έστω
![f:[0,1] \to \mathbb{R} f:[0,1] \to \mathbb{R}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d961f003d1b32deb05785be107ca82fb.png)
συνεχή αλλά πουθενά μονότονη. Να δειχθεί ότι το σύνολο των σημείων στα οποία η

λαμβάνει τοπικά ελάχιστα είναι πυκνό στο
![[0,1] [0,1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png)
.
Χρησιμοποιώ το εξής:
Δεν υπάρχει υποδιάστημα

του
![\displaystyle{[0,1]} \displaystyle{[0,1]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1109a14ceae9f7dfdce6cfbb76246020.png)
με την ιδιότητα:
Σε κάθε κλειστό υποδιάστημα του

η

παρουσιάζει ελάχιστο ή στο αριστερό άκρο ή στο δεξιό του άκρο.
Γιατί αλλιώς η

θα ἠταν στο

ή αύξουσα ή φθίνουσα.
Έστω τώρα
Από το παραπάνω θα υπάρχουν

και

με

και

.(1)
Λόγω της συνέχειας η συνάρτηση θα παρουσιάζει ελάχιστο στο
![\displaystyle{x_0 \in [m,q]} \displaystyle{x_0 \in [m,q]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f85d5c505e5791695fd77ec271ed7f88.png)
και λόγω της (1)

, άρα το

είναι τοπικό ελάχιστο της

και

και η απόδειξη της πυκνότητας
τελείωσε