IMC 2000/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2000/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Σεπ 23, 2012 10:50 pm

Έστω p(z) μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού n \geqslant 1. Να δειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον n+1 μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει ότι p(z) = 0 ή p(z) = 1.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2000/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Σεπ 23, 2012 11:54 pm

Είναι γνωστό ότι το πλήθος των διακεκριμένων ριζών του πολυωνύμου \displaystyle{p\left( z \right)} είναι ίσο με \displaystyle{n - \deg \left( {p,p'} \right)}, όπου \displaystyle{{p'}} είναι η παράγωγος του \displaystyle{p} και με \displaystyle{\left( {p,p'} \right)} συμβολίζουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των πολυωνύμων \displaystyle{p} και \displaystyle{{p'}}.

Όμοια, το πλήθος των διακεκριμένων ριζών της εξίσωσης \displaystyle{p\left( z \right) = 1} είναι ίσο με \displaystyle{n - \deg \left( {p - 1,p'} \right)}.

Εφόσον τα πολυώνυμα \displaystyle{p} και \displaystyle{p-1} είναι πρώτα μεταξύ τους, το ίδιο θα ισχύει και για τα πολυώνυμα \displaystyle{\left( {p,p'} \right)} και \displaystyle{\left( {p-1,p'} \right)}. Αφού, όμως, καθένα από αυτά διαιρεί το πολυώνυμο \displaystyle{{p'}} (βαθμού \displaystyle{n - 1}), και το γινόμενό τους θα διαιρεί το \displaystyle{{p'}}. Επομένως, θα είναι:

\displaystyle{\deg \left( {p,p'} \right) + \deg \left( {p - 1,p'} \right) \le n - 1,}

οπότε

\displaystyle{\left[ {n - \deg \left( {p,p'} \right)} \right] + \left[ {n - \deg \left( {p - 1,p'} \right)} \right] \ge n + 1.}

Το συμπέρασμα έπεται άμεσα από την τελευταία ανισότητα.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης