IMC 2001/1/2

#1

Έστω

θετικοί ακέραιοι σχετικώς πρώτοι μεταξύ τους. Έστω επίσης ομάδα

με μοναδιαίο στοιχείο

και στοιχεία $a,b\in G$ τέτοια ώστε a^r = b^s = (ab)^t = e

.

Να δείξετε ότι αν η

είναι αβελιανή τότε a=b=e

. Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα αν η

δεν είναι αβελιανή;

#2

Έστω ότι η ομάδα $\displaystyle{G}$ είναι αβελιανή. Τότε, είναι:

$\displaystyle{{a^{st}} = {a^{st}}{\left( {{b^s}} \right)^t} = {\left( {{{\left( {ab} \right)}^t}} \right)^s} = e = {a^r}.}$

Εφόσον $\displaystyle{\left( {r,st} \right) = 1}$ υπάρχουν (μοναδικοί) ακέραιοι $\displaystyle{x,y}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{xr + yst = 1}$ . Τότε, έχουμε:

$\displaystyle{a = {a^{xr + yst}} = {\left( {{a^r}} \right)^x}{\left( {{a^{st}}} \right)^y} = e.}$

Όμοια, δείχνουμε ότι $\displaystyle{b = e}$ .

Αν η ομάδα $\displaystyle{G}$ δεν είναι αβελιανή, το συμπέρασμα δεν ισχύει. Για παράδειγμα, θεωρούμε την ομάδα $\displaystyle{G = {S_5}}$ και τα στοιχεία της $\displaystyle{a = \left( {12345} \right)}$ και $\displaystyle{b = \left( {23} \right)\left( {45} \right).}$ Τότε, έχουμε ότι $\displaystyle{{a^5} = {b^2} = {\left( {ab} \right)^3} = e}$ , αλλά $\displaystyle{a \ne e}$ και $\displaystyle{b \ne e}$ .

IMC 2001/1/2

IMC 2001/1/2

Re: IMC 2001/1/2

Μέλη σε σύνδεση