IMC 2001/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2001/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 25, 2012 7:10 pm

Έστω r,s,t θετικοί ακέραιοι σχετικώς πρώτοι μεταξύ τους. Έστω επίσης ομάδα G με μοναδιαίο στοιχείο e και στοιχεία a,b\in G τέτοια ώστε a^r = b^s = (ab)^t = e.

Να δείξετε ότι αν η G είναι αβελιανή τότε a=b=e. Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα αν η G δεν είναι αβελιανή;


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2001/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Σεπ 25, 2012 9:05 pm

Έστω ότι η ομάδα \displaystyle{G} είναι αβελιανή. Τότε, είναι:

\displaystyle{{a^{st}} = {a^{st}}{\left( {{b^s}} \right)^t} = {\left( {{{\left( {ab} \right)}^t}} \right)^s} = e = {a^r}.}

Εφόσον \displaystyle{\left( {r,st} \right) = 1} υπάρχουν (μοναδικοί) ακέραιοι \displaystyle{x,y} τέτοιοι, ώστε \displaystyle{xr + yst = 1}. Τότε, έχουμε:

\displaystyle{a = {a^{xr + yst}} = {\left( {{a^r}} \right)^x}{\left( {{a^{st}}} \right)^y} = e.}

Όμοια, δείχνουμε ότι \displaystyle{b = e}.

Αν η ομάδα \displaystyle{G} δεν είναι αβελιανή, το συμπέρασμα δεν ισχύει. Για παράδειγμα, θεωρούμε την ομάδα \displaystyle{G = {S_5}} και τα στοιχεία της \displaystyle{a = \left( {12345} \right)} και \displaystyle{b = \left( {23} \right)\left( {45} \right).} Τότε, έχουμε ότι \displaystyle{{a^5} = {b^2} = {\left( {ab} \right)^3} = e}, αλλά \displaystyle{a \ne e} και \displaystyle{b \ne e}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης