IMC 2001/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2001/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 25, 2012 7:13 pm

Να υπολογιστεί το \displaystyle{ \lim_{t \to 1-} (1-t)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{1+t^n}.}


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: IMC 2001/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Σεπ 25, 2012 7:45 pm

Είναι το τρίτο πρόβλημα της πρώτης μέρας του 8^{\textnormal{\gr ου}} IMC του 2001


Γενικότερα ισχύει ότι \displaystyle{\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{t^m}{1+t^m}=\frac{\ln2}{1-t}+\frac{1}{4}+\mathcal O(1-t)\qquad (t\to1^-)}.

Από την Euler MacLaurin summation formula με

\displaystyle{f_{t}(x)=\frac{t^x}{1+t^x}}, οπότε και \displaystyle{f_{t}{'}(x)=\frac{t^x\ln t}{(1+t^x)^2}} και \displaystyle{f_{t}{''}(x)=\frac{t^x(1- 
t^x)\ln^2t}{(1+t^x)^3}}, αρχικά στο \displaystyle{[1,n]} και έπειτα αφήνοντας το \displaystyle{n\to+\infty} θα πάρουμε

\begin{aligned} 
\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{t^m}{1+t^m} & =\int_{1}^{+\infty}\frac{t^x}{1+t^x}\,dx+\frac{t}{2(1+t)}-\frac{t\ln t}{12(1+t)^2}-\int_{1}^{+\infty}f_{t}{''}(x)\frac{B_{2}\left(\{x\}\right)}{2}\,dx\\ 
 &\stackrel{t^x=y}{=}-\frac{\ln(1+t)}{\ln t}+\frac{t}{2(1+t)}-\frac{t\ln t}{12(1+t)^2}-\ln t\int_{t}^{0}\frac{1-y}{2(1+y)^3}B_{2}\left(\left\{\frac{\ln y}{\ln t}\right\}\right)\,dy \\ 
 &=\frac{\ln2}{1-t}+\frac{1}{4}+\mathcal O(1-t)\qquad (t\to1^-) 
\end{aligned}

επειδή το τελευταίο ολοκήρωμα φράσσεται κατ' απόλυτη τιμή από \displaystyle{c t\ln t=\mathcal O(1-t)}, και επιπλέον,

\displaystyle{-\frac{\ln(1+t)}{\ln t}=\frac{\ln2}{1-t}+\mathcal O(1-t),\quad \frac{t}{2(1+t)}=\frac{1}{4}+\mathcal O(1-t),\quad \frac{t\ln t}{12(1+t)^2}=\mathcal O(1-t)}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2001/1/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 25, 2012 7:54 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Είναι το τρίτο πρόβλημα της πρώτης μέρας του 8^{\textnormal{\gr ου}} IMC του 2001
Εξ ου και ο τίτλος. ;)


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: IMC 2001/1/3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Σεπ 25, 2012 8:05 pm

Χμ, τελικά οι πολλές ώρες πάνω από τον υπολογιστή δεν κάνουν και πολύ καλό.... :oops:


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες