IMC 2001/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2001/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 17, 2012 10:00 pm

Έστω a_0 = \sqrt{2},b_0=2 και \displaystyle{ a_{n+1} = \sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}, b_{n+1} = \frac{2b_n}{2+\sqrt{4+b_n^2}}} για n \geqslant 0.

(α) Να δειχθεί ότι οι ακολουθίες (a_n) και (b_n) είναι φθίνουσες και συγκλίνουν στο 0.
(β) Να δειχθεί ότι η (2^na_n) είναι αύξουσα, η (2^nb_n) φθίνουσα και συγκλίνουν στο ίδιο όριο.
(γ) Να δειχθεί ότι υπάρχει σταθερά C > 0 έτσι ώστε για κάθε n να ισχύει η ανισότητα \displaystyle{0 < b_n - a_n < \frac{C}{8^n}.}


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: IMC 2001/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Οκτ 18, 2012 1:54 am

Demetres έγραψε:Έστω a_0 = \sqrt{2},b_0=2 και \displaystyle{ a_{n+1} = \sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}, b_{n+1} = \frac{2b_n}{2+\sqrt{4+b_n^2}}} για n \geqslant 0.

(α) Να δειχθεί ότι οι ακολουθίες (a_n) και (b_n) είναι φθίνουσες και συγκλίνουν στο 0.
(β) Να δειχθεί ότι η (2^na_n) είναι αύξουσα, η (2^nb_n) φθίνουσα και συγκλίνουν στο ίδιο όριο.
(γ) Να δειχθεί ότι υπάρχει σταθερά C > 0 έτσι ώστε για κάθε n να ισχύει η ανισότητα \displaystyle{0 < b_n - a_n < \frac{C}{8^n}.}
Είναι 0\leq a_n\leq 2, άρα θέτω a_n=2\sin y_n με y_n\in[0,\pi/2]. Τότε

\displaystyle{2\sin y_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-4\sin^2y_{n}}}=\sqrt{2}\sqrt{1-\cos y_n}=2\sin(y_n/2)}, άρα y_{n+1}=y_n/2, άρα y_n=\pi/2^{n+2} οπότε a_n=2\sin(\pi/2^{n+2}).

Επίσης είναι b_n>0, άρα θέτω b_n=2\tan y_n με y_n\in(0,\pi/2). Τότε

\displaystyle{2\tan y_{n+1}=\frac{2\tan y_{n}}{2+\sqrt{4+4\tan^2y_n}}=\frac{2\tan y_n}{1+\sqrt{\cos^{-2}y_n}}=\frac{2\sin y_n}{1+\cos y_n}=2\tan(y_n/2)}, άρα b_n=2\tan(\pi/2^{n+2}).

Oι μονοτονίες και τα όρια των a_n,b_n,2^na_n,2^nb_n έπονται άμεσα από τους τύπους. Ειδικότερα είναι 2^na_n,2^nb_n\to\pi/2.

Το ότι b_n-a_n>0 έπεται από το α). Από Taylor τώρα είναι \sin x=x+\mathcal O(x^3) και \tan x=x+\mathcal O(x^3) άρα b_n-a_n=\mathcal O(8^{-n}),\quad n\geq0, δηλαδή το ζητούμενο.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης