IMC 2002/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2002/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 31, 2012 9:49 am

Θα λέμε ότι μια παραβολή είναι κανονική αν είναι το γράφημα της y = x^2 + ax + b για κάποια a,b. Δίνονται τρεις κανονικές παραβολές με κορυφές V_1,V_2,V_3 οι οποίες τέμνονται ανά δύο στα A_1,A_2,A_3. Έστω A \mapsto s(A) η ανάκλαση στον άξονα των x. Να δειχθεί ότι κανονικές παραβολές με κορυφές τα s(A_1),s(A_2),s(A_3) τέμνονται ανά δύο στα S(V_1),s(V_2),s(V_3).


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2002/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Πέμ Νοέμ 01, 2012 8:42 am

Η εξίσωση της κανονικής παραβολής \displaystyle{P} με κορυφή το σημείο \displaystyle{V\left( {\kappa ,\lambda } \right)} είναι

\displaystyle{y = {\left( {x - \kappa } \right)^2} + \lambda .}

Παρατηρούμε ότι ένα σημείο \displaystyle{A\left( {{x_0},{y_0}} \right)} του επιπέδου ανήκει στην παραπάνω κανονική παραβολή \displaystyle{P} αν και μόνο αν

\displaystyle{{y_0} = {\left( {{x_0} - \kappa } \right)^2} + \lambda  \Leftrightarrow  - \lambda  = {\left( {\kappa  - {x_0}} \right)^2} - {y_0},}

δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο \displaystyle{s\left( V \right) = \left( {\kappa , - \lambda } \right)} ανήκει στην κανονική παραβολή με κορυφή το σημείο \displaystyle{s\left( A \right) = \left( {{x_0}, - {y_0}} \right).}

Αν, λοιπόν, για τις κανονικές παραβολές \displaystyle{{P_1},{P_2},{P_3}} με αντίστοιχες κορυφές \displaystyle{{V_1},{V_2},{V_3}} έχουμε ότι \displaystyle{\left\{ {{A_1}} \right\} = {P_2} \cap {P_3}}, \displaystyle{\left\{ {{A_2}} \right\} = {P_3} \cap {P_1}} και \displaystyle{\left\{ {{A_3}} \right\} = {P_1} \cap {P_2}}, τότε από τα παραπάνω προκύπτει ότι για κανονικές παραβολές \displaystyle{{\tilde P_1},{\tilde P_2},{\tilde P_3}} με αντίστοιχες κορυφές \displaystyle{s\left( {{A_1}} \right),s\left( {{A_2}} \right),s\left( {{A_3}} \right)} ισχύει ότι \displaystyle{\left\{ {s\left( {{V_1}} \right)} \right\} = {\tilde P_2} \cap {\tilde P_3}}, \displaystyle{\left\{ {s\left( {{V_2}} \right)} \right\} = {\tilde P_3} \cap {\tilde P_1}} και \displaystyle{\left\{ {s\left( {{V_3}} \right)} \right\} = {\tilde P_1} \cap {\tilde P_2}}, οπότε το συμπέρασμα έπεται.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης