IMC 2002/1/1

#1

Θα λέμε ότι μια παραβολή είναι κανονική αν είναι το γράφημα της y = x^2 + ax + b

για κάποια a,b

. Δίνονται τρεις κανονικές παραβολές με κορυφές V_1,V_2,V_3

οι οποίες τέμνονται ανά δύο στα A_1,A_2,A_3

. Έστω $A \mapsto s(A)$ η ανάκλαση στον άξονα των

. Να δειχθεί ότι κανονικές παραβολές με κορυφές τα s(A_1),s(A_2),s(A_3)

τέμνονται ανά δύο στα S(V_1),s(V_2),s(V_3)

.

#2

Η εξίσωση της κανονικής παραβολής $\displaystyle{P}$ με κορυφή το σημείο $\displaystyle{V\left( {\kappa ,\lambda } \right)}$ είναι

$\displaystyle{y = {\left( {x - \kappa } \right)^2} + \lambda .}$

Παρατηρούμε ότι ένα σημείο $\displaystyle{A\left( {{x_0},{y_0}} \right)}$ του επιπέδου ανήκει στην παραπάνω κανονική παραβολή $\displaystyle{P}$ αν και μόνο αν

$\displaystyle{{y_0} = {\left( {{x_0} - \kappa } \right)^2} + \lambda \Leftrightarrow - \lambda = {\left( {\kappa - {x_0}} \right)^2} - {y_0},}$

δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο $\displaystyle{s\left( V \right) = \left( {\kappa , - \lambda } \right)}$ ανήκει στην κανονική παραβολή με κορυφή το σημείο $\displaystyle{s\left( A \right) = \left( {{x_0}, - {y_0}} \right).}$

Αν, λοιπόν, για τις κανονικές παραβολές $\displaystyle{{P_1},{P_2},{P_3}}$ με αντίστοιχες κορυφές $\displaystyle{{V_1},{V_2},{V_3}}$ έχουμε ότι $\displaystyle{\left\{ {{A_1}} \right\} = {P_2} \cap {P_3}}$ , $\displaystyle{\left\{ {{A_2}} \right\} = {P_3} \cap {P_1}}$ και $\displaystyle{\left\{ {{A_3}} \right\} = {P_1} \cap {P_2}}$ , τότε από τα παραπάνω προκύπτει ότι για κανονικές παραβολές $\displaystyle{{\tilde P_1},{\tilde P_2},{\tilde P_3}}$ με αντίστοιχες κορυφές $\displaystyle{s\left( {{A_1}} \right),s\left( {{A_2}} \right),s\left( {{A_3}} \right)}$ ισχύει ότι $\displaystyle{\left\{ {s\left( {{V_1}} \right)} \right\} = {\tilde P_2} \cap {\tilde P_3}}$ , $\displaystyle{\left\{ {s\left( {{V_2}} \right)} \right\} = {\tilde P_3} \cap {\tilde P_1}}$ και $\displaystyle{\left\{ {s\left( {{V_3}} \right)} \right\} = {\tilde P_1} \cap {\tilde P_2}}$ , οπότε το συμπέρασμα έπεται.

IMC 2002/1/1

IMC 2002/1/1

Re: IMC 2002/1/1

Μέλη σε σύνδεση