IMC 2002/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2002/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 31, 2012 9:53 am

Έστω θετικός ακέραιος n. Για k=1,2,\ldots,n ορίζουμε \displaystyle{a_k = \frac{1}{\binom{n}{k}}} και b_k = 2^{k-n}. Να δειχθεί ότι
\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{a_k - b_k}{k} = 0.}


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: IMC 2002/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Οκτ 31, 2012 5:44 pm

Για k\in\mathbb Z είναι k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1} και για μη αρνητικούς ακέραιους n\geq k είναι \displaystyle{\binom{n}{k}^{-1}=(n+1)\int_{0}^{1}t^k(1-t)^{n-k}\,dt}.

Έχουμε λοιπόν ότι

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\binom{n}{k}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\binom{n-1}{k-1}}=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{1}t^{k-1}(1-t)^{n-k}\,dt=\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^n}{t}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{t}{1-t}\right)^k\,dt=\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^n-t^n}{1-2t}\,dt\stackrel{1-2t=x}{=}}

\displaystyle{\frac{1}{2^{n+1}}\int_{-1}^{1}\frac{(1+x)^n-(1-x)^n}{x}\,dx=\frac{1}{2^{n+1}}\left(\int_{-1}^{1}\frac{(1+x)^n-1}{x}\,dx\int_{-1}^{1}\frac{1-(1-x)^n}{x}\,dx\right)=}

\displaystyle{\frac{1}{2^{n}}\int_{0}^{2}\frac{1-y^n}{1-y}\,dy=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{2}y^k\,dy=\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{n}\frac{2^k}{k}}.

Για εφαρμογές της παραπάνω τεχνικής μετατροπής αντιστρόφων δυωνυμικών σε ολοκλήρωμα μπορεί κανείς να δει και εδώ.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης