IMC 2002/1/3

#1

Έστω θετικός ακέραιος

. Για $k=1,2,\ldots,n$ ορίζουμε $\displaystyle{a_k = \frac{1}{\binom{n}{k}}}$ και $b_k = 2^{k-n}$ . Να δειχθεί ότι
$\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{a_k - b_k}{k} = 0.}$

#2

Για $k\in\mathbb Z$ είναι $k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$ και για μη αρνητικούς ακέραιους $n\geq k$ είναι $\displaystyle{\binom{n}{k}^{-1}=(n+1)\int_{0}^{1}t^k(1-t)^{n-k}\,dt}$ .

Έχουμε λοιπόν ότι

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\binom{n}{k}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\binom{n-1}{k-1}}=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{1}t^{k-1}(1-t)^{n-k}\,dt=\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^n}{t}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{t}{1-t}\right)^k\,dt=\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^n-t^n}{1-2t}\,dt\stackrel{1-2t=x}{=}}$

$\displaystyle{\frac{1}{2^{n+1}}\int_{-1}^{1}\frac{(1+x)^n-(1-x)^n}{x}\,dx=\frac{1}{2^{n+1}}\left(\int_{-1}^{1}\frac{(1+x)^n-1}{x}\,dx\int_{-1}^{1}\frac{1-(1-x)^n}{x}\,dx\right)=}$

$\displaystyle{\frac{1}{2^{n}}\int_{0}^{2}\frac{1-y^n}{1-y}\,dy=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{2}y^k\,dy=\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{n}\frac{2^k}{k}}$ .

Για εφαρμογές της παραπάνω τεχνικής μετατροπής αντιστρόφων δυωνυμικών σε ολοκλήρωμα μπορεί κανείς να δει και εδώ.

IMC 2002/1/3

IMC 2002/1/3

Re: IMC 2002/1/3

Μέλη σε σύνδεση