IMC 2002/2/2

#1

Διακόσιοι μαθητές συμμετέχουν σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό. Υπάρχουν 6 προβλήμτα και γνωρίζουμε ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε από ακριβώς 120 διαγωνιζόμενους. Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο μαθητές ώστε κάθε πρόβλημα λύθηκε από τουλάχιστον ένα εξ αυτών.

#2

Έστω $\displaystyle{{P_1},{P_2}, \ldots ,{P_6}}$ τα προβλήματα που δόθηκαν στο διαγωνισμό. Επιλέγουμε τυχαία δύο μαθητές. Τότε, για $\displaystyle{i \in \left\{ {1,2, \ldots ,6} \right\}}$ , η πιθανότητα και οι δύο να μην έλυσαν το πρόβλημα $\displaystyle{{P_i}}$ είναι ίση με $\displaystyle{\frac{{80}}{{200}} \cdot \frac{{79}}{{200}} < \frac{4}{{25}}.}$

Επομένως, η πιθανότητα να υπάρχει $\displaystyle{i \in \left\{ {1,2, \ldots ,6} \right\}}$ τέτοιο, ώστε και οι δύο μαθητές να μην έλυσαν το πρόβλημα $\displaystyle{{P_i}}$ είναι μικρότερη από $\displaystyle{6 \cdot \frac{4}{{25}} = \frac{{24}}{{25}} < 1.}$ Αυτό όμως σημαίνει ότι η πιθανότητα του συμπληρωματικού ενδεχομένου είναι θετική, οπότε το συμπληρωματικό ενδεχόμενο δεν είναι κενό. Με άλλα λόγια, υπάρχουν δύο μαθητές, ώστε ένας τουλάχιστον απ΄αυτούς να έλυσε και τα έξι προβλήματα.

Σημείωση: Να αποδειχθεί το ίδιο, στην περίπτωση που κάθε πρόβλημα λύθηκε από ακριβώς $\displaystyle{101}$ διαγωνιζόμενους. Επίσης, να δειχθεί (με κατάλληλο αντιπαράδειγμα) ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει στην περίπτωση που κάθε πρόβλημα λύθηκε από ακριβώς $\displaystyle{100}$ διαγωνιζόμενους.

#3

emouroukos έγραψε: Σημείωση: Να αποδειχθεί το ίδιο, στην περίπτωση που κάθε πρόβλημα λύθηκε από ακριβώς $\displaystyle{101}$ διαγωνιζόμενους. Επίσης, να δειχθεί (με κατάλληλο αντιπαράδειγμα) ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει στην περίπτωση που κάθε πρόβλημα λύθηκε από ακριβώς $\displaystyle{100}$ διαγωνιζόμενους.

Βαγγέλη περίμενα να λυθεί η άσκηση για να θέσω ακριβώς το ίδιο ερώτημα. Ας το δούμε λοιπόν:

Αν κάθε πρόβλημα λυθεί από 101 άτομα συνολικά έχουμε 606 λύσεις από 200 άτομα οπότε κάποιος πρέπει να έλυσε τουλάχιστον 4 προβλήματα. Έστω τα 1,2,3 και 4 (και ίσως και κάποια από τα 5,6). Από τα υπόλοιπα 199 άτομα τουλάχιστον 100 έλυσαν το 5 και τουλάχιστον 100 έλυσαν το 6 άρα τουλάχιστον ένας από αυτούς έλυσε και τα δύο. Άρα έχουμε δυο άτομα που μαζί έλυσαν όλα τα προβλήματα.

Αυτό δεν βελτιώνεται. Π.χ. αν

50 έλυσαν τα 1,2,3
50 έλυσαν τα 3,4,5
50 έλυσαν τα 2,5,6
50 έλυσαν τα 1,4,6

τότε κάθε πρόβλημα λύθηκε από ακριβώς 100 άτομα αλλά δεν υπάρχουν δύο που μεταξύ τους να τα έλυσαν όλα.

IMC 2002/2/2

IMC 2002/2/2

Re: IMC 2002/2/2

Re: IMC 2002/2/2

Μέλη σε σύνδεση