IMC 2003/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2003/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 06, 2012 6:34 pm

(α) Έστω (a_n) μια ακολουθία πραγματικών αριθμών με a_1=1 και a_{n+1} > 3a_n/2 για n \geqslant 1. Να δειχθεί ότι η ακολουθία (b_n) όπου \displaystyle{ b_n = \frac{a_n}{(3/2)^{n-1}}} είτε έχει πεπερασμένο όριο είτε τείνει στο άπειρο.

(β) Να δειχθεί ότι για κάθε \alpha > 1 υπάρχει ακολουθία (a_n) με τις ίδιες ιδιότητες όπως στο ερώτημα (α) ώστε
\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{(3/2)^{n-1}} = \alpha}


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2003/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τετ Νοέμ 07, 2012 10:38 am

(α) Παρατηρούμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n} ισχύει

\displaystyle{{b_{n + 1}} = \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^n}}} > \frac{{\frac{3}{2}{a_n}}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^n}}} = \frac{{{a_n}}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{n - 1}}}} = {b_n}}

και άρα η ακολουθία \displaystyle{\left( {{b_n}} \right)} είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως, το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {b_n}} υπάρχει στο \displaystyle{\mathbb{R} \cup \left\{ { + \infty } \right\}}.

(β) Έστω \displaystyle{\alpha  > 1}. Θεωρούμε μια οποιαδήποτε γνησίως αύξουσα ακολουθία \displaystyle{\left( {{b_n}} \right)} με \displaystyle{{b_1} = 1} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = \alpha } (για παράδειγμα, αν \displaystyle{\alpha  \in \mathbb{R},} τοτε μπορούμε να πάρουμε \displaystyle{{b_n} = \alpha  - \frac{{\alpha  - 1}}{n}}, ενώ αν \displaystyle{\alpha  =  + \infty } τότε μπορούμε να πάρουμε \displaystyle{{b_n} = n} για κάθε \displaystyle{n \ge 1}). Θέτουμε \displaystyle{{a_n} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}{b_n}} για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n}. Τότε, είναι \displaystyle{{a_1} = 1} και \displaystyle{\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{3}{2}\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} > \frac{3}{2}} για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{n}, οπότε το ζητούμενο δείχθηκε.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες