IMC 2003/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2003/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 06, 2012 6:39 pm

Έστω a_1,\ldots,a_{51} μη μηδενικά στοιχεία ενός σώματος. Αντικαθιστούμε ταυτόχρονα κάθε στοιχείο με το άθροισμα των άλλων 50 στοιχείων λαμβάνοντας μια ακολουθία b_1,\ldots,b_{51}.

Αν η καινούργια ακολουθία είναι μια μετάθεση της παλιάς ακολουθίας, τι μπορούμε να πούμε για την χαρακτηριστική του σώματος;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2003/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 31, 2013 4:47 pm

Ας γράψουμε S = a_1 + \cdots + a_{51}. Από τα δεδομένα έχουμε

\displaystyle{ S = (b_1 + \cdots + b_{51}) = (S-a_1) + \cdots + (S-a_{51}) = 50S.}

Άρα 49S = 0 και άρα είτε η χαρακτηριστική του σώματος ισούται με 7 είτε S= 0. Στην δεύτερη περίπτωση έχουμε b_i = -a_i για κάθε i. Έστω P = a_1 \cdots a_{51}. Τότε P = b_1 \cdots b_{51} = -P και άρα 2P=0. Από τις συνθήκες όμως P \neq 0 και άρα η χαρακτηριστική ισούται με 2.

Άρα η χαρακτηριστική είναι είτε 2 είτε 7. Η ακολουθία 1,1,\ldots,1 στο \mathbb{F}_7 μας δείχνει ότι μπορούμε να έχουμε χαρακτηριστική 7. Για να δούμε ότι μπορούμε να έχουμε χαρακτηριστική 2 θα πάρουμε μια ακολουθία στο σώμα \mathbb{F}_4 = \{0,1,a,a+1\} (όπου a^2 = a+1) και θα πάρουμε την ακολουθία 1,1,\ldots,1,a,a+1 όπου εμφανίζονται 49 άσοι.

Υπάρχουν ακόμη κάποιες ασκήσεις διαγωνισμών που παραμένουν αναπάντητες. (Δεν είναι όλες δύσκολες.) Μπορείτε να τις βρείτε εδώ και εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης