IMC 2003/1/2

#1

Έστω $a_1,\ldots,a_{51}$ μη μηδενικά στοιχεία ενός σώματος. Αντικαθιστούμε ταυτόχρονα κάθε στοιχείο με το άθροισμα των άλλων 50 στοιχείων λαμβάνοντας μια ακολουθία $b_1,\ldots,b_{51}$ .

Αν η καινούργια ακολουθία είναι μια μετάθεση της παλιάς ακολουθίας, τι μπορούμε να πούμε για την χαρακτηριστική του σώματος;

#2

Ας γράψουμε $S = a_1 + \cdots + a_{51}$ . Από τα δεδομένα έχουμε

$\displaystyle{ S = (b_1 + \cdots + b_{51}) = (S-a_1) + \cdots + (S-a_{51}) = 50S.}$

Άρα 49S = 0

και άρα είτε η χαρακτηριστική του σώματος ισούται με

είτε

. Στην δεύτερη περίπτωση έχουμε b_i = -a_i

για κάθε

. Έστω $P = a_1 \cdots a_{51}$ . Τότε $P = b_1 \cdots b_{51} = -P$ και άρα 2P=0

. Από τις συνθήκες όμως $P \neq 0$ και άρα η χαρακτηριστική ισούται με

.

Άρα η χαρακτηριστική είναι είτε 2 είτε 7. Η ακολουθία $1,1,\ldots,1$ στο $\mathbb{F}_7$ μας δείχνει ότι μπορούμε να έχουμε χαρακτηριστική

. Για να δούμε ότι μπορούμε να έχουμε χαρακτηριστική

θα πάρουμε μια ακολουθία στο σώμα $\mathbb{F}_4 = \{0,1,a,a+1\}$ (όπου a^2 = a+1

) και θα πάρουμε την ακολουθία $1,1,\ldots,1,a,a+1$ όπου εμφανίζονται 49 άσοι.

Υπάρχουν ακόμη κάποιες ασκήσεις διαγωνισμών που παραμένουν αναπάντητες. (Δεν είναι όλες δύσκολες.) Μπορείτε να τις βρείτε εδώ και εδώ.

IMC 2003/1/2

IMC 2003/1/2

Re: IMC 2003/1/2

Μέλη σε σύνδεση