IMC 2003/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2003/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 06, 2012 6:43 pm

Έστω A ένας n \times n πραγματικός πίνακας ώστε 3A^3 = A^2 + A + I. Να δειχθεί ότι η ακολουθία A^k συγκλίνει σε ένα ταυτοδύναμο πίνακα. (Δηλαδή σε ένα πίνακα B με την ιδιότητα B^2 = B.)


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2003/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Νοέμ 06, 2012 10:54 pm

Εφόσον \displaystyle{3{A^3} - {A^2} - A - I = O}, το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα \displaystyle{A} θα διαιρεί το πολυώνυμο \displaystyle{3{x^3} - {x^2} - x - 1}, το οποίο έχει απλές ρίζες \displaystyle{1, - \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 2 }}{3}i, - \frac{1}{3} - \frac{{\sqrt 2 }}{3}i}. Άρα, ο πίνακας \displaystyle{ A} θα είναι διαγωνοποιήσιμος: θα υπάρχουν αντιστρέψιμος πίνακας \displaystyle{P} και διαγώνιος πίνακας

\displaystyle{D = diag\left( {{\lambda _1},{\lambda _2}, \ldots ,{\lambda _n}} \right)}, με \displaystyle{{\lambda _j} \in \left\{ {1, - \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 2 }}{3}i, - \frac{1}{3} - \frac{{\sqrt 2 }}{3}i} \right\}} για \displaystyle{j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}

τέτοιοι, ώστε να ισχύει:

\displaystyle{A = {P^{ - 1}}DP}

και άρα

\displaystyle{{A^k} = {P^{ - 1}}{D^k}P} για κάθε θετικό ακέραιο \displaystyle{k}.

Εφόσον \displaystyle{{D^k} = diag\left( {\lambda _1^k,\lambda _2^k, \ldots ,\lambda _n^k} \right)} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\left( { - \frac{1}{3} \pm \frac{{\sqrt 2 }}{3}i} \right)^k} = 0}

(αφού \displaystyle{{\left| { - \frac{1}{3} \pm \frac{{\sqrt 2 }}{3}i} \right| = \frac{1}{3} < 1}}),

θα είναι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \lambda _j^k \in \left\{ {0,1} \right\}} για κάθε \displaystyle{j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}.

Επομένως, ο πίνακας \displaystyle{\tilde D: = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {D^k}} είναι διαγώνιος, με τα διαγώνια στοιχεία του να ανήκουν στο \displaystyle{\left\{ {0,1} \right\}}, οπότε θα είναι ταυτοδύναμος: \displaystyle{{\tilde D^2} = \tilde D}. Άρα και ο πίνακας

\displaystyle{\tilde A: = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {A^k} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {P^{ - 1}}{D^k}P = {P^{ - 1}}\tilde DP}

θα είναι ταυτοδύναμος.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης