IMC 2003/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2003/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Νοέμ 17, 2012 10:39 am

Έστω n \times n πραγματικοί πίνακες A,B ώστε A + B+ AB = 0. Να δειχθεί ότι AB = BA.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2003/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 17, 2012 12:45 pm

Demetres έγραψε:Έστω n \times n πραγματικοί πίνακες A,B ώστε A + B+ AB = 0. Να δειχθεί ότι AB = BA.
Καλό.

Η υπόθεση γράφεται \displaystyle{ (I+A)(I+B)=I} , άρα οι \displaystyle{I+A, \, I+B} είναι αντίστροφοι ο ένας του άλλου (*). Οπότε \displaystyle{(I+B)(I+A)=I , που γράφεται B+A+BA=0. Συγκρίνοντας με τη δοθείσα, έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Το ότι βρισκόμαστε στις πεπερασμένες διαστάσεις χρησιμοποιήθηκε ουσιαστικά στο βήμα (*). Η συνηθισμένη απόδειξη είναι παίρνοντας ορίζουσες διαπιστώνουμε ότι είναι μη μηδενικές, άρα έχουμε αντίστροφο. Μετά δείχνουμε ότι ο αριστερός αντίστροφος είναι και δεξιός.

Θέτω λοιπόν συμπληρωματικό ερώτημα:

Δείξτε με παράδειγμα ότι στις άπειρες διαστάσεις (και σε χώρο Hilbert αν θέλεις), δεν ισχύει το συμπέρασμα της αρχικής άσκησης (ούτε για συνεχείς γραμμικές απεικονίσεις).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης