IMC 2003/2/1

#1

Έστω $n \times n$ πραγματικοί πίνακες A,B

ώστε

. Να δειχθεί ότι AB = BA

.

#2

Demetres έγραψε:Έστω $n \times n$ πραγματικοί πίνακες ώστε . Να δειχθεί ότι .

Καλό.

Η υπόθεση γράφεται $\displaystyle{ (I+A)(I+B)=I}$ , άρα οι $\displaystyle{I+A, \, I+B}$ είναι αντίστροφοι ο ένας του άλλου (*)

. Οπότε $\displaystyle{(I+B)(I+A)=I$ , που γράφεται B+A+BA=0

. Συγκρίνοντας με τη δοθείσα, έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Το ότι βρισκόμαστε στις πεπερασμένες διαστάσεις χρησιμοποιήθηκε ουσιαστικά στο βήμα (*)

. Η συνηθισμένη απόδειξη είναι παίρνοντας ορίζουσες διαπιστώνουμε ότι είναι μη μηδενικές, άρα έχουμε αντίστροφο. Μετά δείχνουμε ότι ο αριστερός αντίστροφος είναι και δεξιός.

Θέτω λοιπόν συμπληρωματικό ερώτημα:

Δείξτε με παράδειγμα ότι στις άπειρες διαστάσεις (και σε χώρο Hilbert αν θέλεις), δεν ισχύει το συμπέρασμα της αρχικής άσκησης (ούτε για συνεχείς γραμμικές απεικονίσεις).

IMC 2003/2/1

IMC 2003/2/1

Re: IMC 2003/2/1

Μέλη σε σύνδεση