IMC 2003/2/3

Έστω

ένα κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}^n$ και έστω

το σύνολο όλων των σημείων

του $\mathbb{R}^n$ για τα οποία υπάρχει ακριβώς ένα σημείο $a_0 \in A$ ώστε $\displaystyle{|a_0-b| = \inf_{a\in A}|a-b|. }$

Να δειχθεί ότι το

είναι πυκνό στο $\mathbb{R}^n$ .

Demetres έγραψε:Έστω ένα κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}^n$ και έστω το σύνολο όλων των σημείων του $\mathbb{R}^n$ για τα οποία υπάρχει ακριβώς ένα σημείο $a_0 \in A$ ώστε $\displaystyle{|a_0-b| = \inf_{a\in A}|a-b|. }$

Να δειχθεί ότι το είναι πυκνό στο $\mathbb{R}^n$ .

Έστω $c \in \mathbb R ^n$ . Αν $c\in A$ τότε $c\in B$ και τελειώσαμε. Αλλιώς υπάρχει ακολουθία $a_n\in A$ με $||a_n-c|| \to \inf_{a\in A}||a-c||$ . Επειδή η (a_n)

είναι φραγμένη, από το $\displaystyle{||c|| + \inf_{a\in A}||a-c||}$ , έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Αν a_0

το όριό της τότε $a_0\in A$ λόγω κλειστότητας του

και ισχύει $\displaystyle{ \inf_{a\in A}||a-c||= ||c-a_0||>0}$ . Τώρα, από τον ορισμό του infimum, η σφαίρα με κέντρο

και ακτίνα $\displaystyle{||c-a_0||}$ δεν περιέχει κανένα στοιχείο του

. Εξετάζουμε τώρα την ακτίνα της σφαίρας που ενώνει το

με το

. Από την γεωμετρία της σφαίρας τα σημεία της ακτίνας έχουν μοναδικό πλησιέστερο σημείο από την επιφάνειά της το $a_0\in A$ , δηλαδή ανήκουν στο

. Άρα πλησιάζουμε το

από στοιχεία του

(τα της ακτίνας), όσο κοντά θέλουμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

IMC 2003/2/3

IMC 2003/2/3

Re: IMC 2003/2/3

Μέλη σε σύνδεση