IMC 2003/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2003/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Νοέμ 17, 2012 10:46 am

Έστω A ένα κλειστό υποσύνολο του \mathbb{R}^n και έστω B το σύνολο όλων των σημείων b του \mathbb{R}^n για τα οποία υπάρχει ακριβώς ένα σημείο a_0 \in A ώστε \displaystyle{|a_0-b| = \inf_{a\in A}|a-b|. }

Να δειχθεί ότι το B είναι πυκνό στο \mathbb{R}^n.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2003/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 17, 2012 11:37 am

Demetres έγραψε:Έστω A ένα κλειστό υποσύνολο του \mathbb{R}^n και έστω B το σύνολο όλων των σημείων b του \mathbb{R}^n για τα οποία υπάρχει ακριβώς ένα σημείο a_0 \in A ώστε \displaystyle{|a_0-b| = \inf_{a\in A}|a-b|. }

Να δειχθεί ότι το B είναι πυκνό στο \mathbb{R}^n.
Έστω c \in \mathbb R ^n. Αν c\in A τότε c\in B και τελειώσαμε. Αλλιώς υπάρχει ακολουθία a_n\in A με ||a_n-c|| \to  \inf_{a\in A}||a-c||. Επειδή η (a_n) είναι φραγμένη, από το \displaystyle{||c|| + \inf_{a\in A}||a-c||}, έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Αν a_0 το όριό της τότε a_0\in A λόγω κλειστότητας του A και ισχύει \displaystyle{ \inf_{a\in A}||a-c||= ||c-a_0||>0}. Τώρα, από τον ορισμό του infimum, η σφαίρα με κέντρο c και ακτίνα \displaystyle{||c-a_0||} δεν περιέχει κανένα στοιχείο του A. Εξετάζουμε τώρα την ακτίνα της σφαίρας που ενώνει το c με το a_0. Από την γεωμετρία της σφαίρας τα σημεία της ακτίνας έχουν μοναδικό πλησιέστερο σημείο από την επιφάνειά της το a_0\in A, δηλαδή ανήκουν στο B. Άρα πλησιάζουμε το c από στοιχεία του B (τα της ακτίνας), όσο κοντά θέλουμε.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης