IMC 2004/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2004/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Νοέμ 17, 2012 7:15 pm

Έστω S ένα άπειρο σύνολο πραγματικών ώστε \displaystyle{\left|\sum_{s \in A} s\right| < 1} για κάθε πεπερασμένο υποσύνολο A του S. Να αποδειχθεί ότι το S είναι αριθμήσιμο.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2004/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Νοέμ 17, 2012 9:47 pm

Για κάθε θετικό ακέραιο n, θέτουμε {{A}_{n}}=\left\{ x\in S:x>\dfrac{1}{n} \right\}. Αν \left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{k}} \right\}\subseteq {{A}_{n}}, τότε

1>\left| \sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}} \right|=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}}>\sum\limits_{i=1}^{k}{\dfrac{1}{n}}=\dfrac{k}{n} ,

οπότε k<n και άρα \left| {{A}_{n}} \right|<n .

Όμοια, αν {{B}_{n}}=\left\{ x\in S:x<-\dfrac{1}{n} \right\} και \left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{k}} \right\}\subseteq {{B}_{n}}, τότε

1>\left| \sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}} \right|=-\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}}>\sum\limits_{i=1}^{k}{\dfrac{1}{n}}=\dfrac{k}{n},

οπότε και πάλι ισχύει k<n και άρα \left| {{B}_{n}} \right|<n .

Εφόσον S\subseteq \left\{ 0 \right\}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{A}_{n}}\cup {{B}_{n}} \right)}, το σύνολο S είναι αριθμήσιμο, ως αριθμήσιμη ένωση πεπερασμένων συνόλων.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης