IMC 2004/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2004/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Νοέμ 17, 2012 7:20 pm

Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x) = x^2-1. Να βρεθεί ο αριθμός των διακεκριμένων πραγματικών λύσεων της \displaystyle{\underbrace{P(P(\cdots P}_{2004}(x))\cdots)) = 0.}


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: IMC 2004/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Νοέμ 19, 2012 3:42 pm

Θέτουμε {{P}_{1}}\left( x \right)=P\left( x \right)={{x}^{2}}-1 και {{P}_{n+1}}\left( x \right)={{P}_{1}}\left( {{P}_{n}}\left( x \right) \right) για κάθε θετικό ακέραιο n.

Παρατηρούμε ότι {{P}_{1}}\left( x \right)\ge -1 και {{P}_{n}}\left( x \right)=P_{n-1}^{2}\left( x \right)-1\ge -1 για κάθε n\in \mathbb{N} με n\ge 2 και κάθε x\in \mathbb{R}.

Ισχυρισμός 1: Για κάθε θετικό ακέραιο n και κάθε y\in \left( 0,+\infty  \right), η εξίσωση {{P}_{n}}\left( x \right)=y έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες.

Απόδειξη του Ισχυρισμού: Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για n=1, έχουμε:

{{P}_{1}}\left( x \right)=y\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=y\Leftrightarrow x\in \left\{ -\sqrt{y+1},\sqrt{y+1} \right\}.

Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για το θετικό ακέραιο n. Τότε, έχουμε ότι:

{{P}_{n+1}}\left( x \right)=y\Leftrightarrow P_{n}^{2}\left( x \right)=y+1\Leftrightarrow {{P}_{n}}\left( x \right)\in \left\{ -\sqrt{y+1},\sqrt{y+1} \right\}\Leftrightarrow {{P}_{n}}\left( x \right)=\sqrt{y+1},

αφού -\sqrt{y+1}<-1 για κάθε y>0. Άρα, ο Ισχυρισμός έπεται επαγωγικά. \blacksquare

Ισχυρισμός 2: Για κάθε θετικό ακέραιο n, η εξίσωση {{P}_{n}}\left( x \right)=0 έχει ακριβώς n+1 πραγματικές ρίζες.

Απόδειξη του Ισχυρισμού: Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για n=1 και n=2 έχουμε:

{{P}_{1}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x\in \left\{ -1,1 \right\},

{{P}_{2}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow x\in \left\{ -\sqrt{2},0,\sqrt{2} \right\}.

Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για το θετικό ακέραιο n-1. Τότε, έχουμε ότι:

{{P}_{n+1}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow P_{n}^{2}\left( x \right)=1\Leftrightarrow \left( {{P}_{n}}\left( x \right)-1 \right)\left( {{P}_{n}}\left( x \right)+1 \right)=0.

Έχουμε τώρα δύο περιπτώσεις:

\bullet {{P}_{n}}\left( x \right)=-1\Leftrightarrow P_{n-1}^{2}\left( x \right)-1=-1\Leftrightarrow {{P}_{n-1}}\left( x \right)=0,

η οποία έχει ακριβώς n πραγματικές ρίζες, από την επαγωγική υπόθεση.

\bullet {{P}_{n}}\left( x \right)=1\Leftrightarrow P_{n-1}^{2}\left( x \right)=2\Leftrightarrow {{P}_{n-1}}\left( x \right)\in \left\{ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right\}\Leftrightarrow {{P}_{n-1}}\left( x \right)=\sqrt{2},

η οποία έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, από τον Ισχυρισμό 1.

Άρα, η εξίσωση {{P}_{n+1}}\left( x \right)=0 έχει ακριβώς n+2 πραγματικές ρίζες, οπότε το συμπέρασμα έπεται επαγωγικά. \blacksquare

Ειδικότερα, η εξίσωση {{P}_{2004}}\left( x \right)=0 έχει ακριβώς \boxed{2005} πραγματικές ρίζες.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης